Bài toán thực tiễn của cấp số nhân lùi vô hạn. – TOÁN HỌC
Mục Lục
Bài toán thực tiễn của cấp số nhân lùi vô hạn.
A. Kiến thức cốt lõi
1. Cấp số nhân lùi vô hạn
Định nghĩa: Cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn nếu số hạng đầu ${u_1} \ne 0$ và công bội q với $\left| q \right| < 1$.
2. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Định lý: Cho cấp số nhân lùi vô hạn biết số hạng đầu ${u_1} \ne 0$ và công bội q với $\left| q \right| < 1$. Gọi $S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + …$. Ta luôn có: $S = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}$
Chứng minh
Theo giả thiết : USD { S_n } = { u_1 } + { u_2 } + { u_3 } + … + { u_n } $ $ = { u_1 } \ frac { { 1 – { q ^ n } } } { { 1 – q } } $ .
Xét : $ \ mathop { \ lim } \ limits_ { n \ to + \ infty } { u_1 } \ frac { { 1 – { q ^ n } } } { { 1 – q } } $ $ = \ frac { { { u_1 } } } { { 1 – q } }. \ mathop { \ lim } \ limits_ { n \ to + \ infty } \ left ( { 1 – { q ^ n } } \ right ) $ $ = \ frac { { { u_1 } } } { { 1 – q } } USD. Vì $ \ left | q \ right | < 1 USD nên $ \ mathop { \ lim } \ limits_ { n \ to \ infty } { q ^ n } $ và $ \ mathop { \ lim } \ limits_ { n \ to \ infty } \ left ( { 1 – { q ^ n } } \ right ) = 1 $ ( đpcm ) .
B. Bài tập vận dụng
Dạng 1. Tìm số hữu tỉ biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Ví dụ 1. Tìm số hữu tỉ biểu diễn số $0,111111….$ chu kỳ (1).
Giải
Ta trình diễn : USD a = \ underbrace { \ underbrace { \ underbrace { 0,1 } _ { { u_1 } } 1 } _ { { u_2 } } 1 } _ { { u_3 } } …. = \ frac { 1 } { { 10 } } + \ frac { 1 } { { { { 10 } ^ 2 } } } + \ frac { 1 } { { { { 10 } ^ 3 } } } + … USD
Như vậy $ a $ là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn biết :
- Số hạng đầu: ${u_1} = \frac{1}{{10}}$.
- Công bội: $q = \frac{1}{{10}}$
Do vậy : USD a = \ frac { { { u_1 } } } { { 1 – q } } $ $ = \ frac { { \ frac { 1 } { { 10 } } } } { { 1 – \ frac { 1 } { { 10 } } } } $ $ = \ frac { 1 } { 9 } $ .
Vậy : USD a = \ frac { 1 } { 9 } $ .
Ví dụ 2. Tìm số hữu tỉ biểu diễn số $8,020202….$ chu kỳ (02).
Giải
Ta màn biểu diễn : USD b = 8,020202 … USD USD = 8 + \ underbrace { \ underbrace { \ underbrace { 0,02 } _ { { u_1 } } 02 } _ { { u_2 } } 02 } _ { { u_3 } } …. $ USD = 8 + \ frac { 2 } { { 100 } } + \ frac { 2 } { { { { 100 } ^ 2 } } } + \ frac { 2 } { { { { 100 } ^ 3 } } } + … USD
Xét $ S = \ frac { 2 } { { 100 } } + \ frac { 2 } { { { { 100 } ^ 2 } } } + \ frac { 2 } { { { { 100 } ^ 3 } } } + … USD
Suy ra : $ S $ là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn biết :
- Số hạng đầu: ${u_1} = \frac{2}{{100}}$.
- Công bội: $q = \frac{1}{{100}}$
Do vậy : USD s = \ frac { { { u_1 } } } { { 1 – q } } $ $ = \ frac { { \ frac { 2 } { { 100 } } } } { { 1 – \ frac { 1 } { { 100 } } } } $ $ = \ frac { 1 } { 33 } $ .
Vậy : USD b = 8 + \ frac { 1 } { 33 } = \ frac { 265 } { 33 } $ .
Lưu ý : Nếu triển khai tách :
USD b = 8,020202 … = 6 + \ underbrace 2 _ { { u_1 } } + \ underbrace { \ frac { 2 } { { 100 } } } _ { { u_2 } } + \ underbrace { \ frac { 2 } { { { { 100 } ^ 2 } } } } _ { { u_3 } } + … USD
Với số hạng đầu : $ { u_1 } = 2 USD ; công bội USD q = \ frac { 1 } { { 100 } } $ .
Phương pháp này sẽ dễ gặp phải sai lầm đáng tiếc khi tách số âm, ví dụ :
Đây là một trong những sai lầm đáng tiếc : $ b = – 8,020202 … $ $ = – 10 + \ underbrace 2 _ { { u_1 } } + \ underbrace { \ frac { 2 } { { 100 } } } _ { { u_2 } } + \ underbrace { \ frac { 2 } { { { { 100 } ^ 2 } } } } _ { { u_3 } } + … USD
Dạng 2. Các bài toán ứng dụng thực tế
Bài 1. Cho hình vuông ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}.$ có cạnh bằng $a$ và có diện tích ${S_1}$ Nối bốn trung điểm ${A_2},{B_2},{C_2},{D_2}$ ta được hình vuông thứ hai có diện tích ${{S}_{2}}.$ Tiếp tục như thế, ta được hình vuông ${{A}_{3}}{{B}_{3}}{{C}_{3}}{{D}_{3}}$ có diện tích ${{S}_{3}},…$. Tính tổng ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}+…$ bằng
| A. $\frac{{{a}^{2}}({{2}^{100}}-1)}{{{2}^{100}}}.$ | B. $2{a^2}$ | C. $\frac{{{a}^{2}}}{{{2}^{100}}}.$ | D. $\frac{{{a}^{2}}({{2}^{99}}-1)}{{{2}^{98}}}.$ |
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có:
| S1 | S2 | S3 | … | Sn | … |
| ${a^2}$ | ${\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}$ $ = {a^2}.\frac{1}{2}$ | ${\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}$ $={a^2}.\frac{1}{4}$ | … | ${a^2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n – 1}}$ | … |
Có $ { S_1 } ; { S_2 } ; { S_3 } ; … $ là một cấp số nhân lùi vô hạn với :
- Số hạng đầu: ${S_1} = {a^2}$
- Công bội: $q = \frac{1}{2}$
Do đó : USD S = { S_1 } + { S_2 } + { S_3 } + … $ $ = \ frac { { { S_1 } } } { { 1 – q } } = \ frac { { { a ^ 2 } } } { { 1 – \ frac { 1 } { 2 } } } = 2 { a ^ 2 } $
Vậy chọn đáp án B.
Bài 2. Cho hình vuông ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}.$ có cạnh bằng $a$ và có diện tích ${S_1}$. Chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông${{A}_{2}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}{{D}_{2}}$ và có diện tích ${S_2}.$ (như hình vẽ). Tiếp tục như thế ta được dãy các hình vuông. Gọi ${{S}_{i}}$ là diện tích của các hình vuông $(i=1,2,…).$ Tìm $a$ biết ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}+…=\frac{32}{3}.$
| A. $2.$ | B. $\frac{5}{2}.$ | C. $\sqrt{2}.$ | D. $\frac{4\sqrt{3}}{3}.$ |
Hướng dẫn giải
Áp dụng Pitago để tính những cạnh hình vuông vắn và diện tích quy hoạnh tương ứng ta có bảng sau :
| S1 | S2 | S3 | … | Sn | … |
| ${a^2}$ | ${a^2}.\frac{{10}}{{16}}$ | ${a^2}.{\left( {\frac{{10}}{{16}}} \right)^2}$ | … | ${a^2}.{\left( {\frac{{10}}{{16}}} \right)^{n – 1}}$ | … |
Có $ { S_1 } ; { S_2 } ; { S_3 } ; … $ là một cấp số nhân lùi vô hạn với :
- Số hạng đầu: ${S_1} = {a^2}$
- Công bội: $q = \frac{10}{16}$
Do đó : USD S = { S_1 } + { S_2 } + { S_3 } + … $ $ = \ frac { { { S_1 } } } { { 1 – q } } = \ frac { { { a ^ 2 } } } { { 1 – \ frac { 10 } { 16 } } } $ $ \ frac { { 8 { a ^ 2 } } } { 3 } $
Theo giả thiết : USD S = \ frac { { 32 } } { 3 } $ $ \ Leftrightarrow \ frac { { 8 { a ^ 2 } } } { 3 } = \ frac { { 32 } } { 3 } $ $ \ Leftrightarrow a = 2 USD .
Vậy chọn đáp án A.
Bài 3. Cho một tam giác đều A1B1C1 có cạnh bằng $a$ và có diện tích ${{S}_{1}}.$ Nối các trung điểm các cạnh được tam giác đều A2B2C2 và có diện tích ${{S}_{2}}.$ (như hình vẽ). Tiếp tục như thế ta được dãy các tam giác đều. Tìm $a$ biết $S = {S_1} + {S_2} + … = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
| A. $a=2.$ | B. $a = \sqrt 3 $ | C. $\sqrt{2}.$ | D. $a=1.$ |
Hướng dẫn giải
Áp dụng Pitago để tính cạnh, độ cao của tam giác đều và diện tích quy hoạnh tương ứng ta có :
| S1 | S2 | S3 | … | Sn | … |
| $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ | $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{4}$ | $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}$ | … | $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n – 1}}$ | … |
Có $ { S_1 } ; { S_2 } ; { S_3 } ; … $ là một cấp số nhân lùi vô hạn biết :
- Số hạng đầu: $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$
- Công bội: $q = \frac{1}{4}$
Do đó : USD S = { S_1 } + { S_2 } + { S_3 } + … $ $ = \ frac { { { S_1 } } } { { 1 – q } } $ $ = \ frac { { \ frac { { { a ^ 2 } \ sqrt 3 } } { 4 } } } { { 1 – \ frac { 1 } { 4 } } } $ $ = \ frac { { { a ^ 2 } \ sqrt 3 } } { 3 } $
Theo giả thiết : USD S = \ frac { { \ sqrt 3 } } { 3 } $ $ \ Leftrightarrow \ frac { { { a ^ 2 } \ sqrt 3 } } { 3 } = \ frac { { \ sqrt 3 } } { 3 } $ $ \ Leftrightarrow a = 1 USD
Vậy chọn đáp án D.
Bài 4 . Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bài hình vuông cạnh bằng $1$, nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,…, n,…, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. (hình vẽ).
Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn. Hỏi sau bao nhiêu lần tô thì diện tích tô được của chuột Mickey bằng $\frac{1}{3}$ diện tích hình vuông ban đầu?
| A. $100.$ | B. $1024 $ | C. $256$ | D. Vô hạn |
Hướng dẫn giải
+ Diện tích hình vuông vắn bắt đầu là : S1 = 1 .
+ Diện tích hình vuông vắn số 1 chuột Mickey tô được có cạnh bằng một nửa cạnh hình vuông vắn
⇒ Diện tích hình vuông vắn số 1 bằng : USD { S_1 } = { \ left ( { \ frac { 1 } { 2 } } \ right ) ^ 2 } = \ frac { 1 } { 4 } $ .
+ Tương tự : Diện tích hình vuông vắn sau đó bằng : USD { S_2 } = { \ left ( { \ frac { 1 } { 4 } } \ right ) ^ 2 } = \ frac { 1 } { 16 } USD … .
Xét : $ \ frac { { { S_2 } } } { { { S_1 } } } = \ frac { { { S_3 } } } { { { S_2 } } } = … = \ frac { 1 } { 4 } $
Do đó ta có : USD { S_1 } ; { S_2 } ; { S_3 } ; … $ là một cấp số nhân lùi vô hạn với :
- Số hạng đầu: ${S_1} = \frac{1}{4}$.
- Công bội : $q = \frac{1}{4}$
Mặt khác ta có : USD S = { S_1 } + { S_2 } + { S_3 } + … $ $ = \ frac { { { S_1 } } } { { 1 – q } } $ $ = \ frac { { \ frac { 1 } { 4 } } } { { 1 – \ frac { 1 } { 3 } } } $ $ = \ frac { 1 } { 3 } $
Vậy chọn đáp án D.
Lưu ý: Phương pháp tính Sn sau đây dài hơn khá nhiều.
Ta có : USD { S_n } = { S_1 }. { \ left ( { \ frac { 1 } { 4 } } \ right ) ^ { n – 1 } } $
Khi đó : Tổng $ S = { S_1 } + { S_2 } + { S_3 } + … + { S_n } $ $ = { S_1 } \ frac { { 1 – { q ^ n } } } { { 1 – q } } $ $ = \ frac { 1 } { 4 }. \ frac { { 1 – { { \ left ( { \ frac { 1 } { 4 } } \ right ) } ^ n } } } { { 1 – \ frac { 1 } { 4 } } } $ $ = \ frac { 1 } { 3 } \ left [ { 1 – { { \ left ( { \ frac { 1 } { 4 } } \ right ) } ^ n } } \ right ] $
Theo giả thiết : USD S = \ frac { 1 } { 3 } $ $ \ Leftrightarrow \ frac { 1 } { 3 } \ left [ { 1 – { { \ left ( { \ frac { 1 } { 4 } } \ right ) } ^ n } } \ right ] = \ frac { 1 } { 3 } $ .
Điều này dẫn tới : $ { \ left ( { \ frac { 1 } { 4 } } \ right ) ^ n } \ to 0 $ $ \ Leftrightarrow \ mathop { \ lim } \ limits_ { n \ to + \ infty } { \ left ( { \ frac { 1 } { 4 } } \ right ) ^ n } = 0 USD .
Vậy $ { n \ to + \ infty } $ .
Chọn đáp án D.
Lưu ý 2. Cách giải thứ 2 trên đây học sinh có thể sẽ gặp khó khăn khi giải phương trình tìm n: $\frac{1}{3}\left[ {1 – {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right] = \frac{1}{3}$
Nguyên nhân bài toán này phải sử dụng số lượng giới hạn và phải hiểu thực chất số lượng giới hạn .
Lưu ý 3. Nếu giả thiết cho trước nhỏ hơn $\frac{1}{3}$, Cụ thể: $S = \frac{{341}}{{1024}}$ theo cách thứ 2 khi đó ta dễ dàng tìm được $n=5$.
C. Tài liệu đính kèm
Pass : Bicboon. com
Source: https://evbn.org
Category: Góc Nhìn
![Toni Kroos là ai? [ sự thật về tiểu sử đầy đủ Toni Kroos ]](https://evbn.org/wp-content/uploads/New-Project-6635-1671934592.jpg)
