Tính chất của hai tam giác đồng dạng – TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 1 Khái niệm hai tam giác đồng dạng –

Một phần của tài liệu ĐỀ CƯƠNG ÔN THI MÔN TOÁN LỚP 8 HỌC KỲ II

II. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 1 Khái niệm hai tam giác đồng dạng

4. Tính chất của hai tam giác đồng dạng

Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì:

• Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

• Tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

• Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

• Tỉ số các diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

VẤN ĐỀ I. Sử dụng tam giác đồng dạng để tính tốn
Bài 1. Cho tam giác A′B′C′ địng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k.

a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác.
b) Cho k 3

5

= và hiệu chu vi của hai tam giác là 40dm. Tính chu vi của mỗi tam giác.

HD: a) P k
P

′ =

b) P′ =60( ),dm P=100( )dm .

Bài 2. Cho tam giác A′B′C′ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k 4

3

= . Tính chu vi của tam giác ABC, biết
chu vi của tam giác A′B′C′ bằng 27cm.

HD: P=20,25( )cm .

Bài 3. Cho tam giác ABC cĩ độ dài các cạnh là AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 7cm. Tam giác A′B′C′ đồng dạng
với tam giác ABC và cĩ chu vi bằng 75cm. Tính độ dài các cạnh của ∆A′B′C′.

HD: A B′ ′=15 ,cm B C′ ′=25 ,cm A C′ ′=35cm.

Bài 4. Cho tam giác ABC và các đường cao BH, CK.

a) Chứng minh ∆ABH #∆ACK. b) Cho ·ACB=400. Tính ·AKH.

HD: b) ·AKH ACB=· =400.

Bài 5. Cho hình vuơng ABCD. Trên hai cạnh AB, BC lấy hai điểm P và Q sao cho BP = BQ. Gọi H là hình
chiếu của B trên đường thẳng CP.

a) Chứng minh ∆BHP #∆CHB. b) Chứng minh: BH CH
BQ CD= .

c) Chứng minh ∆CHD #∆BHQ. Từ đĩ suy ra ·DHQ=900.

HD: c) Chứng minh ·DHQ CHD CHQ BHQ CHQ BHC=· +· =· +· =· =900.

Bài 6. Hai tam giác ABC và DEF cĩ µA D=µ , µB E=µ , AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm.
a) Tính độ dài các cạnh AC, DF, EF, biết rằng cạnh AC dài hơn cạnh DF là 3cm.
b) Cho diện tích tam giác ABC bằng 39,69cm2. Tính diện tích tam giác DEF.

HD: a) ∆ABC #∆DEF ⇒ EF = 7,5cm, DF = 9cm, AC = 12cm b) SDEF =22,33(cm2).

Bài 7. Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH, BH = 4cm, CH = 9cm. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu
của H lên AB, AC.

a) Chứng minh ∆AKI #∆ABC. b) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Tính diện tích của tứ giác AKHI.

HD: b) SABC =39cm2 c) SAKHI 216cm2

13

Bài 8. Cho tam giác ABC, cĩ µA=900+µB, đường cao CH. Chứng minh:
a) ·CBA ACH=· b) CH2 =BH AH.

Bài 9. Cho tam giác ABC, hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Tính diệnt ích tam giác GMN, biết diện
tích tam giác ABC bằng S.

HD: SGMN S

12

= .

Bài 10. Cho hình vuơng ABCD, cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD tại I. Trên EB lấy
điểm M sao cho DM = DA.

a) Chứng minh ∆EMC #∆ECB. b) Chứng minh EB.MC = 2a2.
c) Tính diện tích tam giác EMC theo a.

HD: c) SEMC 4a2

5

= .

Bài 11. Cho tam giác ABC vuơng tại A. Trên cạnh AB, lấy điểm M sao cho 2AM=3MB. Một đường thẳng
qua M, song song với BC, cắt AC tại N. Một đường thẳng qua N, song song với AB, cắt BC tại D.

a) Chứng minh ∆AMN #∆ NDC.

b) Cho AN = 8cm, BM = 4cm. Tính diện tích cáctam giác AMN, ABC và NDC.

HD: b) SAMN =24cm2, SABC 200cm2

3

= , SNDC 32cm2

3

= .

VẤN ĐỀ II. Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Bài 1. Cho tam giác ABC. Gọi A′, B′, C′ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.
a) Chứng minh ∆A′B′C′#∆CAB.

b) Tính chu vi của ∆A′B′C′, biết chu vi của ∆ABC bằng 54cm.

HD: b) P′ =27( )cm .

Bài 2. Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác. Gọi E, F, H lần lượt là trung điểm của AG, BG, CG.
Chứng minh các tam giác EFH và ABC đồng dạng với nhau và G là trọng tâm của tam giác EFH.

HD: Sử dụng tính chất đường trung bình và trọng tâm tam giác.

Bài 3. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AM, BN, CP
đồng qui tại O. Qua A và C vẽ các đường thẳng song song với BO cắt CO, OA lần lượt ở E và F.

a) Chứng minh: ∆FCM #∆OMB và ∆PAE #∆PBO.
b) Chứng minh: MB NC PA

MC NA PB. . =1.

HD: b) Sử dụng định lí Ta-lét và tam giác đồng dạng.

Bài 4. Cho tam giác ABC cĩ AB = 15cm, AC = 20cm. Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy 2 điểm D, E sao cho
AD = 8cm, AE = 6cm.

a) Chứng minh ∆AED #∆ABC.

b) Tính chu vi của tam giác ADE, khi biết BC = 25cm.
c) Tính gĩc ADE, biết µC=200.

Bài 5. Cho gĩc ·xOy xOy(· ≠180 )0 . Trên cạnh Ox, lấy 2 điểm A, B sao cho OA = 5cm, OB = 16cm. Trên cạnh
Oy, lấy 2 điểm C, D sao cho OC = 8cm, OD = 10cm.

a) Chứng minh: ∆OCB #∆OAD.

b) Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh ·BAI DCI=· .

HD:

Bài 6. Cho tam giác ABC cĩ các cạnh AB = 24cm, AC = 28cm. Đường phân giác gĩc A cắt cạnh BC tại D. Gọi
M, N lần lượt là hình chiếu của các điểm B, C trên đường thẳng AD.

a) Tính tỉ số BM

CN b) Chứng minh

AM DM
AN = DN .

HD: a) Chứng minh ∆BDM #∆CDN ⇒ BMCN = 67 b) Chứng minh ∆ABM #∆CAN.

Bài 7. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ CE ⊥ AB và CF ⊥ AD, BH ⊥ AC.

a) Chứng minh ∆ABH #∆ACE. b) Chứng minh: AB AE AD AF AC. + . = 2.

HD: b) Chứng minh: AB.AE = AC.AH, AD.AF = AC.CH ⇒ đpcm.

Bài 8. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a) Chứng minh OA.OD = OB.OC.

b) Đường thẳng qua O, vuơng gĩc với AB, CD theo thứ tự tại H, K. Chứng minh OH AB
OK CD= .
HD: a) Chứng minh ∆OAB #∆OCD.

Bài 9. Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn. Gọi O là giao điểm của ba đường cao AH, BK, CI.
a) Chứng minh OK.OB = OI.OC b) Chứng minh ∆OKI #∆OCB

c) Chứng minh ∆BOH #∆BCK d) Chứng minh BO BK CO CI BC. + . = 2.

HD:

Bài 10. Cho tam giác ABC vuơng ở A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm.
a) Tính BC.

b) Từ trung điểm M của BC, vẽ đường thẳng vuơng gĩc với BC, cắt đường thẳng AC tại H và cắt đường
thẳng AB tại E. Chứng minh ∆EMB #∆CAB.

c) Tính EB và EM.

d) Chứng minh BH vuơng gĩc với EC.
e) Chứng minh HA.HC = HM.HE.

HD: a) BC =9( )cm c) EM=6( ),cm EB=7,5( )cm

Bài 11. Cho tam giác ABC vuơng ở A, đường cao AH.
a) Hãy nêu từng cặp các tam giác đồng dạng.

b) Cho AB = 12,45cm, AC = 20,50cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BC, AH, BH, CH.

HD: b) BC = 23,98cm, AH = 10,64cm, HB = 6,45cm, HC = 17,53cm.

Bài 12. Cho tam giác ABC và đường cao AH, AB = 5cm, BH = 3cm, AC 20cm

3

= .

a) Tính độ dài AH b) Chứng minh ∆ABH #∆CAH. Từ đĩ tính ·BAC.

HD: a) AH = 4cm b) ·BAC=900.

Bài 13. Cho tứ giác ABCD, cĩ ·DBC=900, AD= 20cm, AB=4cm, DB=6cm, DC=9cm.
a) Tính gĩc ·BAD b) Chứng minh ∆BAD #∆DBC c) Chứng minh DC // AB.

HD: a) ·BAD=900

Bài 14.

HD:

BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG III

Bài 1. Cho tam giác ABC vuơng tại A, AB = 15cm, AC = 20cm. Tia phân giác của gĩc A, cắt cạnh BC tại D.
a) Tính DB

DC.

b) Đường thẳng qua D, song song với AB, cắt AC tại E. Chứng minh ∆EDC #∆ABC.
c) Tính DE và diện tích của tam giác EDC.

HD: a) DB
DC
3
4
= c) DE 60 ( )cm
7
= , SEDC 2400 ( )cm2
49
= .

Bài 2. Cho tam giác cân ABC, AB = AC = b, BC = a. Vẽ các đường cao BH, CK.

a) Chứng minh BK = CH b) Chứng minh KH // BC c) Tính độ dài HC và HK.

HD: c) HC a
b
2
2
= , KH a a
b
3
2
2
= − .

Bài 3. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lấy lần lượt các điểm
K, H sao cho BK CH BI. = 2. Chứng minh:

a) ∆KBI #∆ICH b) ∆KIH #∆KBI

c) KI là phân giác của gĩc ·BKH d) IH KB HC IK HK BI. + . > . .

HD: d) Chứng minh IH KB HC IK BI KI IH. + . = ( + )>HK BI. .

Bài 4. Cho tam giác ABC (AB < AC). Vẽ đường cao AH, đường phân giác trong AD, đường trung tuyến AM.
a) Chứng minh HD DM HM+ = .

b) Vẽ các đường cao BF, CE. So sánh hai đoạn thẳng BF và CE.
c) Chứng minh ∆AFE #∆ABC.

d) Gọi O là trực tâm của ∆ABC. Chứng minh BO BF CO CE BC. + . = 2.

HD: a) AB < AC ⇒ DC > MC, ·CAH µA

2

> ⇒ D nằm giữa H và M ⇒ đpcm.
b) BF < CE d) BO.BF = BC.BH, CO.CE = BC.CH

Bài 5. cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC lấy lần lượt các điểm D, E sao cho AD AE

AB = AC. Đường trung

tuyến AI (I ∈ BC) cắt đoạn thẳng DE tại H. Chứng minh DH = HE.

HD: DH HE

BI = IC ⇒ đpcm.

Bài 6. Cho tam giác ABC vuơng tại A, µC=300 và đường phân giác BD (D ∈ AC).
a) Tính tỉ số DA

CD b) Cho AB = 12,5cm. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
HD: a) DA

DC

1
2

Bài 7. Cho tam giác đều ABC cạnh a, M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy
điểm E sao cho ·DME=600.

a) Chứng minh BD CE. a2

4

= .

b) Chứng minh ∆MBD #∆EMD và ∆ECM #∆EMD.
c) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng DE.

HD: c) Vẽ MH ⊥ DE, MK ⊥ EC ⇒ MH = MK; MK MC2 CK2 a 3
4

= − = .

Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A, µA=200, AB = AC = b, BC = a. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho

·DBC=200.

a) Chứng minh ∆BDC #∆ABC.

b) Vẽ AE vuơng gĩc với BD tại E. Tính độ dài các đoạn thẳng AD, DE, AE.
c) Chứng minh a3+b3=3ab2.
HD: b) AE b 3
2
= , DE b a
2
= − , AD b a
b
2
= − c) AD2 =DE2+AE2 ⇒ đpcm.

Bài 9. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, K là điểm trên AM sao cho AM = 3AK, BK cắt AC tại N, P là
trung điểm của NC.

a) Tính tỉ số diện tích của các tam giác ANK và AMP.

b) Cho biết diện tích ∆ABC bằng S. tính diện tích tam giác ANK.

c) Một đường thẳng qua K cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại I và J. Chứng minh AB AC
AI + AJ =6.
HD: a) ANK
AMP
S
S
1
9

= b) SAMP 3SAMC;SAMC 1SABC

5 2

= = ⇒ SANK S

30

= .
c) Vẽ BE // IJ, CH // IJ (E, H ∈ AM) ⇒∆EBM = ∆HCM ⇒ EM = MH;

AB AE AC AH

AI = AK AJ, = AK ⇒ đpcm.

Bài 10. Cho tam giác ABC. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC. O là giao điểm các đường trung
trực, H là trực tâm, G là trọng tâm của tam giác ABC.

a) Chứng minh ∆OMN #∆HAB.
b) So sánh độ dài AH và OM.
c) Chứng minh ∆HAG #∆OMG.

d) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng và GH = 2GO.

HD: b) AH = 2OM d) ·HGO HGM MGO HGM AGH MGA=· +· =· +· =· =1800 ⇒ đpcm.

Bài 11. Cho tam giác ABC, các đường cao AK và BD cắt nhau tại G. Vẽ các đường trung trực HE, HF của AC
và BC. Chứng minh:

a) BG = 2HE b) AG = 2HF.

HD: ∆ABG #∆FEH ⇒ đpcm.

Bài 12. Cho hình thang vuơng ABCD (AB // DC, µA D= =µ 900). Đường chéo BD vuơng gĩc với cạnh bên BC.
Chứng minh BD2 =AB DC. .

HD: Chứng minh ∆ABD #∆BCD.

Bài 13. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), O là trung điểm của cạnh đáy BC. Một điểm D di động trên cạnh
AB. Trên cạnh AC lấy một điểm E sao cho CE OB

BD

2

a) Hai tam giác DBO, OCE đồng dạng.

b) Tam giác DOE cũng đồng dạng với hai tam giác trên.

c) DO là phân giác của gĩc ·BDE, EO là phân giác của gĩc ·CED.

d) Khoảng cách từ điểm O đến đoạn ED khơng đổi khi D di động trên AB.

HD: d) Vẽ OI ⊥ DE, OH ⊥ AC ⇒ OI = OH.

Bài 14. Cho tam giác ABC, trong đĩ µB C,µ là các gĩc nhọn. Các đường cao AA′, BB′, CC′ cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: A′A.A′H = A′B.A′C.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Giả sử đường thẳng GH song song với cạnh đáy BC. Chứng
minh: A A′ 2 =3A B A C′ . ′ .

HD: a) Chứng minh ∆BA′H # BB′C, ∆CAA′#∆CB′B b) GH // BC ⇒ A H A A

3

′
′ = .

Bài 15. Cho hình thang KLMN (KN // LM). gọi E là giao điểm của hai đường chéo. Qua E, vẽ một đường thẳng
song song với LM, cắt MN tại F. Chứng minh:

EF KN LM

1 = 1 + 1

.

HD: Tính các tỉ số EF EF
LM KN, .

Bài 16. Qua một điểm O tuỳ ý ở trong tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC và BC lần lượt
tại D và E; đường thẳng song song với AC, cắt AB và BC lần lượt ở F và K; đường thẳng song song với
BC, cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh:

AF BE CN
AB BC CA+ + =1.

HD: Chứng minh AF KC CN KE

AB BC CA= , =BC ⇒ đpcm.

Bài 17. Qua một điểm O tuỳ ý ở trong tam giác ABC, vẽ các đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, CA, AB lần
lượt tại A′, B′, C′. Chứng minh: OA OB OC

AA BB CC 1
′ ′ ′
+ + =
′ ′ ′ .
HD: Vẽ AH ⊥ BC, OI ⊥ BC ⇒ OAAA′ = AHOI
′ ; BOCABC
S OI
S = AH ⇒ BOC
ABC
S OA
S AA
′
=
′.

Tương tự: COA AOB

ABC ABC
S OB S OC
S BB S, CC
′ ′
= =
′ ′ ⇒ đpcm.

Bài 18. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC, lấy lần lượt các điểm P, Q, R. Chứng minh rằng nếu các
đường thẳng AP, BQ, CR đồng qui tại O thì PB QC RA

PC QA RB. . =1 (định lí Ceva).

HD: Qua C và A vẽ các đường thẳng song song với BQ, cắt đường thẳng AP tại E và cắt đường thẳng CR

tại D. Chứng minh PB OB RA AD QC EC

PC EC RB OB QA= , = , = AD⇒ đpcm.

Bài 19. Trên các đường thẳng qua các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC, lấy lần lượt các điểm P, Q, R
(khơng trùng với đỉnh nào của tam giác). Chứng minh rằng nếu ba điểm P, Q, R thẳng hàng thì

PB QC RA

PC QA RB. . =1 (định lí Menelaus).

HD: Gọi các khoảng cách từ A, B, C đến đường thẳng PQR là m, n, p.

Ta cĩ: PB n QC p RA m

Bài 20.

a)