Phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa hay, chi tiết

Phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa hay, chi tiết

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 và kí hiệu là f’(x0) (hoặc y’(x0)), tức là

Chú ý:

    Đại lượng Δx = x – x0 gọi là số gia của đối số x tại x0.

    Đại lượng Δy = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) – f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

    Bước 1. Giả sử Δx là số gia của đối số x tại x0, tính Δy = f(x0 + Δx) – f(x0).

Chú ý: Trong định nghĩa trên đây, thay xo bởi x ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x ∈ (a, b)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hàm số có Δx là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Tập xác định của hàm số đã cho là D = [2/3; +∞)

Với Δx là số gia của đối số tại x = 2 sao cho 2 + Δx ∈ D, thì

Bài 2: Cho hàm số f(x) = 3x + 5.Tính đạo hàm của hàm số đã cho bằng định nghĩa.

Quảng cáo

Hướng dẫn:

Tập xác định của hàm số đã cho là D = R

Ta có Δy = 3(x+Δx) + 5 – 3x – 5 = 3Δx

Khi đó:

Bài 3: Cho hàm số

Đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1?

Hướng dẫn:

với Δx là số gia của đối số tại x = 1, ta có

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f(x)= 2×3 + 1 tại x = 2

Hướng dẫn:

Ta có

Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho:

Hướng dẫn:

Ta có

Bài 6: Tính đạo hàm của hàm số:

Hướng dẫn:

Ta có f(0) = 0, do đó:

Quảng cáo

Bài 7: Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa

Hướng dẫn:

Tập xác định của hàm số đã cho là D = R\{-1}

Ta có

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số f(x) = x2 + 2x, có Δx là số gia của đối số tại x = 1, Δy là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó Δy bằng:

A. (Δx)2 + 2Δx

B. (Δx)2 + 4Δx

C. (Δx)2 + 2Δx – 3

D. 3

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Δy = f(1 + Δx) – f(1) = (1 + Δx)2 + 2(1 + Δx) – (1 + 2) = (Δx)2 + 4Δx

Đáp án B

Bài 2: Cho hàm số

Đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1 là:

A. 1/4            B. -1/2            C. 0            D. 1/2

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

với Δx là số gia của đối số tại x = 1, ta có

Đáp án A

Quảng cáo

Bài 3: Cho hàm số f(x) = |x + 1|. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. f(x) liên tục tại x = -1

B. f(x) có đạo hàm tại x = -1

C. f(-1) = 0

D. f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -1

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Suy ra không tồn tại giới hạn của tỉ số khi x → -1

Do đó hàm số đã cho không có đạo hàm tại x = -1

Vậy chọn đáp án là B

Bài 4: Số gia của hàm số f(x) = 2×2 – 1 tại x0 = 1 ứng với số gia Δx = 0,1 bằng:

A. 1

B. 1,42

C. 2,02

D. 0,42

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

chọn đáp án là B

Bài 5: Cho hàm số y = √x, Δx là số gia của đối số tại x. Khi đó Δy/Δx bằng:

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Δy = f(x0 + Δx) – f(x0)

Vậy chọn đáp án là C

Bài 6: Cho hàm số

Đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1?

A. 1            B. 0            C. 1/4            D. -1/4

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ta có

Vậy chọn đáp án là C

Bài 7: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f(x) = 2×3 + 1 tại x = 2?

A. 10

B. 24

C. 22

D. 42

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ta có

Vậy chọn đáp án là B

Bài 8: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho:

A. 1/2            B. -1/√2            C. 0             D. 3

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có f(0) = 0, do đó:

Vậy chọn đáp án là A

Bài 9: Hàm số có Δx là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó Δy/Δx bằng?

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Vậy chọn đáp án là A

Bài 10: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f(x) = x2 + 1 tại x = 1?

A. 1/2            B. 1            C. 0            D. 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Vậy chọn đáp án là D

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

dao-ham.jsp