Một số tính chất của đa thức thực và áp dụng – Luận văn, đồ án, đề tài tốt nghiệp

Đa thức và các tính chất liên quan đến nó luôn đóng vai trò quan trọng trong
đại số và giải tích. Đặc biệt, sau khi định lý cơ bản của đại số (do Gauss chứng minh)
khẳng định rằng mọi đa thức trên trường số phức (khác hằng số) luôn có ít nhất một
nghiệm thực hoặc phức, thì bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức với hệ số
thực là vấn đề được quan tâm hàng đầu của nhiều thế hệ các nhà toán học. Những
kết quả đầu tiên theo hướng này là của Descartes về quy tắc dấu (thường được gọi
là quy tắc dấu Descartes) để xác định số nghiệm dương của một đa thức thực dựa
vào sự phân bố dấu của dãy các hệ số của đa thức đã cho. Tiếp theo là các khảo sát
khác nhau về số nghiệm của đa thức trong một khoảng cho trước và các công thức
biểu diễn đa thức theo các tính chất của chúng. Nhờ công cụ giải tích, đặc biệt là
định lý Lagrange và bổ đề Rolle, việc khảo sát số nghiệm thực của các đa thức đạo
hàm (đạo hàm của một đa thức thực) được tiến hành dễ dàng hơn. Đó là, khi đa thức
P(x)∈R[x] cóknghiệm thực thì đa thứcP
0
(x)sẽ có ít nhấtk−1nghiệm thực.

26 trang

|

Chia sẻ: lvbuiluyen

| Lượt xem: 3178

| Lượt tải: 10

Bạn đang xem trước

20 trang

tài liệu Một số tính chất của đa thức thực và áp dụng, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
Dương Thị Thu Thuý
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA ĐA THỨC THỰC
VÀ ÁP DỤNG
Luận văn thạc sỹ toán học
Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số : 60 46 40
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
Quy Nhơn, năm 2008
0Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Định lý dạng Viète và các tính chất liên quan 4
1.1 Một số tính chất cơ bản của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Các định lý dạng Viète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Định lý về số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm . . . . . . . . . . . 8
2 Tính chất nghiệm của các đa thức nguyên hàm 15
2.1 Nhận xét về nguyên hàm của một số đa thức dạng đặc biệt . . . . . . . 15
2.2 Một số bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm . . . 19
2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến nguyên hàm cấp hai . . . . . . . . 20
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1Lời nói đầu
Đa thức và các tính chất liên quan đến nó luôn đóng vai trò quan trọng trong
đại số và giải tích. Đặc biệt, sau khi định lý cơ bản của đại số (do Gauss chứng minh)
khẳng định rằng mọi đa thức trên trường số phức (khác hằng số) luôn có ít nhất một
nghiệm thực hoặc phức, thì bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức với hệ số
thực là vấn đề được quan tâm hàng đầu của nhiều thế hệ các nhà toán học. Những
kết quả đầu tiên theo hướng này là của Descartes về quy tắc dấu (thường được gọi
là quy tắc dấu Descartes) để xác định số nghiệm dương của một đa thức thực dựa
vào sự phân bố dấu của dãy các hệ số của đa thức đã cho. Tiếp theo là các khảo sát
khác nhau về số nghiệm của đa thức trong một khoảng cho trước và các công thức
biểu diễn đa thức theo các tính chất của chúng. Nhờ công cụ giải tích, đặc biệt là
định lý Lagrange và bổ đề Rolle, việc khảo sát số nghiệm thực của các đa thức đạo
hàm (đạo hàm của một đa thức thực) được tiến hành dễ dàng hơn. Đó là, khi đa thức
P (x) ∈ R[x] có k nghiệm thực thì đa thức P ′(x) sẽ có ít nhất k − 1 nghiệm thực.
Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là: Khi nào thì một đa thức P (x) ∈ R[x] với k
nghiệm thực cho trước sẽ cho ta một nguyên hàm (gọi là đa thức nguyên hàm)
F1(x) =
x∫
x1
P (t)dt (1)
có đủ k + 1 nghiệm thực?
Tương tự, khi nào thì một đa thức P (x) ∈ R[x] với k nghiệm thực cho trước sẽ
cho một nguyên hàm cấp s (s > 1) (gọi là đa thức nguyên hàm cấp s) dạng
Fs(x) =
x∫
xs
Fs−1(x)dt (2)
có đủ k + s nghiệm thực?
2Luận văn nhằm tập trung giải quyết các câu hỏi trên. Đó chính là các định lý
đảo của định lý Lagrange đối với lớp các đa thức thực. Đặc biệt, đối với những lớp
đa thức không thỏa mãn các điều kiện (1) và (2), ta sẽ xét bài toán “nắn lại” đồ thị
của đa thức đó bằng cách thêm một số nút nội suy để các điều kiện (1) và (2) được
thoả mãn.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 2 chương
Chương 1 bao gồm ba phần, trong phần đầu tác giả khái quát lại một số kiến
thức bổ trợ về đa thức, đạo hàm của đa thức và quy tắc dấu Descartes. Phần thứ hai
là các định lý dạng Viète, nêu cách biểu diễn đa thức qua hệ nghiệm của nguyên hàm
kết hợp với phương pháp nội suy đa thức theo các yếu tố hình học. Phần tiếp theo,
tác giả nêu lên định lý về số nghiệm của đa thức nguyên hàm. Định lý 1.11; 1.13 chỉ
ra điều kiện cần và đủ để một đa thức với các nghiệm đều thực sẽ cho một nguyên
hàm cũng có các nghiệm đều thực. Trên cơ sở đó trình bày điều kiện để tồn tại đa
thức nguyên hàm tới cấp tuỳ ý cho trước sao cho số nghiệm thực của các nguyên hàm
đó tăng lên theo từng cấp của nguyên hàm (Định lý 1.12, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18
1.19 ).
Chương 2 bao gồm ba phần, phần đầu cũng chính là phần trọng tâm của chương
này. Tác giả đưa ra nhận xét về tính chất nghiệm của các đa thức nguyên hàm có
dạng đặc biệt và đưa ra cách “nắn lại” đồ thị của các đa thức đó để các đa thức nhận
được thoả mãn điều kiện (1) và (2) (Định lý 2.1, 2.2). Phần tiếp theo, luận văn trình
bày một số bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm. Phần cuối
cùng, tác giả dựa vào các tính chất của hàm lồi, lõm để bước đầu xây dựng một số
dạng bất đẳng thức đối với đa thức nguyên hàm.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học đầy nhiệt tâm và nghiêm
khắc của GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Nhân dịp này, tác giả xin được bày tỏ lòng
biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư – người thầy đã truyền đạt
nhiều kiến thức quý báu cũng như những kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong
suốt thời gian tác giả theo học và nghiên cứu đề tài. Đồng thời, tác giả cũng xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào
tạo Đại học và Sau Đại học, các anh chị, bạn bè lớp cao học Toán K8-Đại học Quy
Nhơn và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá
trình học tập, công tác và thực hiện đề tài luận văn này.
3Hệ thống các ký hiệu
sử dụng trong luận văn
– deg f(x) là bậc của đa thức f(x).
– F0(x) là nguyên hàm (cấp 1) của đa thức f(x) ứng với hằng số c = 0,
tức là F0(x) thoả mãn điều kiện F0(0) = 0.
– Fc(x) là nguyên hàm (cấp 1) của đa thức f(x) ứng với hằng số c,
tức là Fc(x) = F0(x) + c với c ∈ R.
– F0,k(x) là nguyên hàm cấp k của đa thức f(x) ứng với hằng số c = 0,
tức là F0,k(x) thoả mãn điều kiện F0,k(0) = 0.
– Fc,k(x) là nguyên hàm cấp k của đa thức f(x) ứng với hằng số c,
tức là Fc,k(x) = F0,k(x) + c với c ∈ R.
– Hn là tập hợp đa thức với hệ số thực Pn(x) bậc n (n > 0) với hệ số tự do bằng 1
(Pn(0) = 1) và có các nghiệm đều thực.
– Mk(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp k của đa thức f(x).
– R[x] là tập hợp đa thức với hệ số thực.
– sign a là dấu của số thực a, tức là
sign a :=

+ khi a > 0
0 khi a = 0
− khi a < 0.
4Chương 1
Định lý dạng Viète và các tính chất
liên quan
1.1 Một số tính chất cơ bản của đa thức
Định nghĩa 1.1. Một đa thức bậc n của ẩn x là biểu thức có dạng
Pn(x) = anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0,
trong đó các hệ số an, an−1, . . . , a0 là những số thực (hoặc phức)
và an 6= 0, n ∈ N.
Ta kí hiệu
i.Bậc của đa thức Pn(x) là degPn(x). Do vậy deg Pn(x) = n.
ii. an – hệ số bậc cao nhất (chính) của đa thức.
Chú ý 1.1. Trong luận văn này ta chỉ xét các đa thức Pn(x) với các hệ số của nó
đều là thực và gọi tắt là đa thức thực. Ký hiệu tập hợp các đa thức với hệ số thực là
R[x].
Định nghĩa 1.2. Cho đa thức
Pn(x) = anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 (an 6= 0),
số α ∈ C được gọi là nghiệm của đa thức Pn(x) nếu Pn(α) = 0. Nếu tồn tại k ∈
N, k > 1, sao cho Pn(x)
…(x − α)k nhưng Pn(x) không chia hết cho (x − α)k+1 thì α
được gọi là nghiệm bội bậc k của đa thức f(x).
5Đặc biệt, khi k = 1 thì α được gọi là nghiệm đơn, k = 2 thì α được gọi là nghiệm
kép.
Chú ý 1.2. Nghiệm của đa thức thực còn được gọi là không điểm của đa thức đó.
Định lý 1.1 (Gauss). Mọi đa thức bậc n > 1 trên trường C đều có đúng n nghiệm
nếu mỗi nghiệm được tính một số lần bằng bội của nó.
Định lý 1.2. Mọi đa thức f(x) ∈ R[x] bậc n, với hệ số chính an 6= 0, đều có thể
phân tích thành nhân tử dạng
f(x) = an
m∏
j=1
(x− di)
s∏
k=1
(x2 + bkx + ck)
với di, bk, ck ∈ R, 2s + m = n, b2k − 4ck < 0,m, n ∈ N∗.
Hệ quả 1.1.
(1) Số nghiệm phức của một đa thức với hệ số thực (nếu có) luôn luôn là số chẵn.
(2) Nếu đa thức f(x) với hệ số thực chỉ có nghiệm phức thì f(x) là một đa thức bậc
chẵn.
(3) Nếu đa thức bậc n có k nghiệm thực k 6 n thì n và k cùng tính chẵn lẻ.
(4) Đa thức bậc lẻ với hệ số thực luôn có ít nhất một nghiệm thực.
Định lý 1.3. Mỗi đa thức thực bậc n đều có không quá n nghiệm thực.
Định lý 1.4 (Tính chất hàm của đa thức). Mọi đa thức P (x) ∈ R[x] đều xác
định và liên tục trên R. Ngoài ra, khi
Pn(x) = anx
n + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0, an 6= 0,
và x → +∞ thì P (x) → sign (an)∞.
Khi x →−∞ thì P (x) → (−1)n sign (an)∞.
Tiếp theo, ta xét một số tính chất của đa thức đạo hàm.
Định lý 1.8. Nếu x0 là nghiệm bội bậc s (s ∈ N, s > 1) của đa thức f(x) ∈ R[x] và
x0 cũng là nghiệm của nguyên hàm F (x) của f(x) thì x0 là nghiệm bội bậc s+ 1 của
đa thức nguyên hàm F (x).
6Ta chuyển sang xét quy tắc dấu Descartes .
Xét dãy số thực a0, a1, a2, . . ..
Định nghĩa 1.3. Chỉ số m (m ∈ N,m > 1) được gọi là vị trí (chỗ) đổi dấu của dãy
nếu có am−1am < 0 hoặc là
am−1 = am−2 = · · · = am−(k−1) = 0 trong đó am−kam k > 2).
Trong trường hợp thứ nhất thì am−1 và am, còn trong trường hợp thứ 2 thì am−k và
am lập thành vị trí đổi dấu. Số lần đổi dấu (bằng số vị trí đổi dấu) của một dãy nào
đó vẫn không thay đổi nếu các số hạng bằng 0 được bỏ đi còn những số hạng còn lại
vẫn bảo toàn vị trí tương đối của chúng.
Định nghĩa 1.4. Ta coi sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của đa thức
P (x) = anx
n + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0
chính là sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của dãy hệ số tuỳ ý
an, an−1, . . . , a1, a0.
Tính chất 1.7 (Quy tắc dấu Descartes). Giả sử N là số không điểm dương của
đa thức
f(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn
và W là số lần đổi dấu trong dãy các hệ số của nó. Ta có W > N và W −N là một
số chẵn.
Tính chất 1.8. Cho đa thức f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · · + anxn (an 6= 0) có các
nghiệm đều thực, gọi W là số vị trí đổi dấu của dãy hệ số a0, a1, . . . , an và N là số
không điểm dương của đa thức f(x) thì W = N.
1.2 Các định lý dạng Viète
Định lý Rolle đã cho ta một thuật toán dựng các đa thức có các nghiệm đều
thực từ các đa thức có các nghiệm đều thực cho trước bằng phép lấy đạo hàm. Ta
đã biết rằng, mọi đa thức có các nghiệm đều thực đều được biểu diễn một cách duy
7nhất qua hệ nghiệm của nó. Đó chính là nội dung của định lý Viète quen thuộc trong
chương trình toán của bậc phổ thông.
Nhận xét rằng, định lý Viète đã chỉ ra mối quan hệ giữa bộ các nghiệm của đa
thức với tất cả các hệ số trong đa thức đó. Tuy nhiên, ta cũng có thể phát biểu kết
quả tương tự trong trường hợp khi ta còn chưa tường minh các nghiệm của một đa
thức. Điều này rất có ý nghĩa khi xét các điều kiện để một đa thức có tất cả các
nghiệm đều thực. Trước hết, ta xét một số dạng đa thức có bậc thấp.
Bổ đề 1.2 (Định lý dạng Viète đối với tam thức bậc hai).
Tam thức bậc hai với hệ số thực f(x) = 3×2 − 2bx + c có nghiệm thực khi và chỉ khi
các hệ số b, c có dạng b = α + β + γc = αβ + βγ + γα. (1.1)
trong đó α, β, γ ∈ R.
Bổ đề 1.3 (Định lý dạng Viète đối với đa thức bậc 3).
Đa thức bậc 3 với hệ số thực f(x) = −4×3 + 3ax2 − 2bx + c có các nghiệm đều thực
khi và chỉ khi các hệ số a, b, c có dạng
a = α + β + γ + δ
b = αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ
c = αβγ + αβδ + αγδ + βγδ
(1.2)
trong đó α, β, γ, δ ∈ R.
Ví dụ 1.1. Cho α = 1, β = −1, γ = 2, δ = 4 thay vào công thức (1.2) ta thu được
a = −5, b = 5, c = −5.
Khi đó đa thức f(x) = −4×3 + 15×2 − 10x− 5 có 3 nghiệm thực là
x1 ≈ −0, 33; x2 ≈ 1, 47; x3 ≈ 2, 61.
Nhận xét rằng, nếu ta chọn m = −6(= αβγδ) thì đa thức nguyên hàm
F (x) = −x4 + 5×3 − 5×2 − 5x + 6
có bốn nghiệm thực (x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3).
Đối với các nhị thức bậc nhất ta luôn chọn được nguyên hàm là các tam thức
bậc hai có nghiệm thực, kết hợp với bổ đề 1.2 và bổ đề 1.3, ta có hệ quả sau đây.
8Hệ quả 1.3. Mọi đa thức bậc nhỏ hơn 4 có các nghiệm đều thực luôn tồn tại nguyên
hàm cũng có các nghiệm đều thực.
Đối với các đa thức có bậc n (n > 4) thì điều kiện cần để ứng với một đa thức
có các nghiệm đều thực cho ta ít nhất một nguyên hàm cũng có các nghiệm đều thực
sẽ được trình bày ở mục sau. Tuy nhiên, từ hệ quả (1.2), ta có ngay điều kiện đủ cho
các đa thức có bậc tuỳ ý.
Định lý 1.10 (Định lý dạng Viète tổng quát). Đa thức
f(x) = (n + 1)xn + (−1)na1xn−1 + (−1)2(n− 1)a2xn−2 + · · ·+ (−1)nan
với các hệ số a1, a2, . . . , an có dạng
ak = Ek(x¯), k = 1, 2, . . . , n (1.3)
luôn luôn có các nghiệm đều thực, trong đó Ek(x¯) là các hàm đối xứng Viète bậc k
theo các biến thực x1, x2, . . . , xn+1,
1.3 Định lý về số nghiệm thực của đa thức nguyên
hàm
Nhận xét rằng, ứng với mỗi đa thức f(x) ∈ R[x] cho trước luôn tồn tại vô số
nguyên hàm, chúng sai khác nhau một hằng số thực. Vì vậy, tuy đa thức đã cho có
các nghiệm đều thực nhưng nhìn chung các nguyên hàm của nó không có tính chất
đó.
Về sau, để ngắn gọn trong cách trình bày, ta gọi mỗi nguyên hàm của một đa
thức là đa thức nguyên hàm.
Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là: Với những điều kiện nào thì đa thức
f(x) =
m∏
k=1
(x− xk)rk , x1 6 x2 6 · · · 6 xm, r1 + · · ·+ rm = n
sẽ có ít nhất một nguyên hàm (đa thức nguyên hàm) của nó có các nghiệm đều thực?
Đối với đa thức có bậc tuỳ ý, định lý 1.10 đã cho ta câu trả lời của điều kiện đủ.
Ta dễ dàng chỉ ra điều kiện cần (bổ đề 1.2 và bổ đề 1.3) cho các đa thức có bậc không
9vượt quá 3. Tuy nhiên đối với các đa thức có bậc lớn hơn 3 thì bài toán trở nên phức
tạp hơn nhiều.
Chẳng hạn, ta xét đa thức bậc 4
f(x) = x4 − 2×3 + x2
có bốn nghiệm thực (x1 = x2 = 0, x3 = x4 = 1) nhưng nguyên hàm
Fc(x) =
1
5
x5 − 1
2
x4 +
1
3
x3 − c
có số nghiệm thực không vượt quá 3 với mọi c ∈ R.
Thật vậy, do hàm số f(x) = x2(x− 1)2 > 0,∀x nên nguyên hàm F (x) luôn đồng
biến, vì thế với mọi c ∈ R thì đường thẳng y = c cắt đồ thị của hàm số
F0(x) =
1
5
x5 − 1
2
x4 +
1
3
x3
tại duy nhất một điểm. Đặc biệt, nếu chọn c = 0 thì giao điểm trên là điểm bội 3.
Tiếp theo ta xét đa thức
f(x) = 5×4 + 5×3 − 65×2 − 5x + 60
có bốn nghiệm phân biệt x1 = −4, x2 = −1, x3 = 1, x4 = 3.
Suy ra nguyên hàm
F0(x) = x
5 +
5
4
x4 − 65
3
x3 − 5
2
x2 + 60x
đạt cực đại tại các nút x1 = −4, x3 = 1 và đạt cực tiểu tại các nút x2 = −1, x4 = 3.
Sau đây là đồ thị của nguyên hàm F0(x).
10
Quan sát đồ thị ta thấy số nghiệm của nguyên hàm Fc(x) = F0(x)− c phụ thuộc
vào giá trị của hằng số c như sau:
– Nếu c F0(x3) thì đường thẳng y = c cắt đồ thị hàm số F0(x)
tại không quá ba điểm. Khi đó, nguyên hàm Fc(x) có không quá ba nghiệm thực.
– Nếu F0(x2) 6 c 6 F0(x3) thì đường thẳng y = c cắt đồ thị hàm số F0(x) tại 5
điểm (kể cả điểm bội). Suy ra nguyên hàm Fc(x) có tất cả các nghiệm đều thực.
Vậy với điều kiện nào thì một đa thức bậc 4 có các nghiệm đều thực sẽ cho một
nguyên hàm cũng có các nghiệm đều thực?
Ta có câu trả lời dưới dạng bổ đề sau đây.
Bổ đề 1.4. Giả sử đa thức
f(x) = 5(x− x1)(x− x2)(x− x3)(x− x4), x1 6 x2 6 x3 6 x4
có nguyên hàm F0(x) là đa thức bậc 5 với hệ số thực
F0(x) = x
5 − a1x4 + a2x3 − a3x2 + a4x.
Khi đó, điều kiện cần và đủ để tồn tại hằng số thực c sao cho nguyên hàm
Fc(x) = F0(x)− c
có các nghiệm đều thực là
F0(x1) > F0(x4). (1.4)
Sau đây là điều kiện để một đa thức bậc cao có các nghiệm đều thực cho một
nguyên hàm cũng có các nghiệm đều thực.
Định lý 1.11. Giả sử f(x) là đa thức bậc n (n > 4) có các nghiệm đều thực
f(x) = (−1)n(n + 1)(x− x1)(x− x2)(x− x3) · · · (x− xn), x1 6 x2 6 x3 6 · · · 6 xn;
F0(x) là một nguyên hàm của f(x) thoả mãn điều kiện F0(0) = 0. Khi đó, điều kiện
cần và đủ để tồn tại số thực c sao cho nguyên hàm
Fc(x) = F0(x)− c
có các nghiệm đều thực là
max
1≤i≤[n2 ]
F0(x2i) 6 min
0≤j≤[n−12 ]
F0(x2j+1).
11
Nhận xét rằng, định lý 1.11 đã chỉ ra điều kiện cần và đủ để các đa thức có các
nghiệm đều thực tồn tại nguyên hàm bậc 1 cũng có các nghiệm đều thực. Vấn đề tiếp
theo được đặt ra: Với điều kiện nào thì đa thức có các nghiệm đều thực có số nghiệm
thực tăng lên theo mỗi cấp của nguyên hàm?
Dễ dàng nhận thấy, đối với các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai, tính chất
trên hiển nhiên đúng. Sau đây ta khảo sát các đa thức bậc cao hơn.
Định lý 1.12. Giả sử f(x) ∈ R[x] là đa thức bậc n (n > 4) có n nghiệm thực
f(x) = (−1)n(x− x0,1)(x− x0,2) . . . (x− x0,n), x0,1 6 x0,2 6 · · · 6 x0,n.
Gọi Mk(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp k của đa thức f(x). Khi đó, điều kiện cần
và đủ để tồn tại đa thức Fc,k(x) ∈ Mk(f) có n + k nghiệm thực là
max
1≤i≤[n+k−12 ]
{
(−1)k+1F0,k(xk−1,2i)
}
6 min
0≤j≤[n+k−22 ]
{
(−1)k+1F0,k(xk−1,2j+1)
}
(1.6)
trong đó xk−1,i là nghiệm thứ i của nguyên hàm cấp k − 1,
F0,k(x) là nguyên hàm cấp k của f(x) thoả mãn điều kiện F0,k(0) = 0 và F0,0(x) =
f(x).
Sau đây ta mở rộng định lý 1.11 cho các đa thức có số nghiệm thực nhỏ thua
hoặc bằng bậc của đa thức đó.
Trước hết ta xét một số trường hợp đặc biệt ứng với các đa thức có số nghiệm
thực khá nhỏ.
Bổ đề 1.5. ứng với mọi đa thức f(x) ∈ R[x] có một nghiệm thực cho trước đều tồn
tại nguyên hàm có ít nhất hai nghiệm thực.
Bổ đề 1.6. ứng với mọi đa thức f(x) ∈ R[x] có hai nghiệm thực cho trước đều tồn
tại nguyên hàm có ít nhất ba nghiệm thực.
Bổ đề 1.7. ứng với mọi đa thức f(x) ∈ R[x] có ba nghiệm thực cho trước đều tồn tại
nguyên hàm có ít nhất bốn nghiệm thực.
Các bổ đề nêu trên khẳng định rằng mọi đa thức có không quá ba nghiệm thực
cho trước luôn tồn tại nguyên hàm có nhiều hơn đa thức đó ít nhất một nghiệm thực.
Tuy nhiên, đối với các đa thức có số nghiệm thực lớn hơn ba tính chất đó không còn
đúng nữa.
12
Chẳng hạn, xét đa thức f(x) = x6 − x4 − x2 + 1 có bốn nghiệm thực
x1 = x2 = −1, x3 = x4 = 1
nhưng nguyên hàm Fc(x) =
1
7
x7− 1
5
x5− 1
3
x3 +x− c có không quá 3 nghiệm thực với
mọi c ∈ R.
Sau đây, ta khảo sát tiếp các điều kiện để mọi đa thức có bốn nghiệm thực thoả
mãn các điều kiện đó đều tồn tại nguyên hàm có ít nhất năm nghiệm thực.
Bổ đề 1.8. Giả sử đa thức
f(x) = (x− x1)(x− x2)(x− x3)(x− x4)g(x), x1 6 x2 6 x3 6 x4,
trong đó g(x) > 0 ∀x ∈ R. Giả sử F0(x) là một nguyên hàm của đa thức f(x) thoả
mãn điều kiện F0(0) = 0. Khi đó, điều kiện cần và đủ để tồn tại số thực c sao cho
nguyên hàm
Fc(x) = F0(x)− c
có ít nhất 5 nghiệm thực là
F0(x1) > F0(x4). (1.5)
Ta phát biểu kết quả mở rộng định lí 1.11 và bổ đề 1.8 dưới dạng định lý sau
đây.
Định lý 1.13. Giả sử đa thức f(x) bậc n (n > 5) có s (5 6 s 6 n) nghiệm thực có
dạng
f(x) = (−1)n(x− x1)(x− x2)(x− x3) · · · (x− xs)g(x), x1 6 x2 6 x3 6 · · · 6 xs,
trong đó g(x) 6= 0, ∀x ∈ R.
Giả sử F0(x) là một nguyên hàm của f(x) thoả mãn điều kiện F0(0) = 0. Khi đó
điều kiện cần và đủ để tồn tại c ∈ R sao cho nguyên hàm
Fc(x) = F0(x)− c
có ít nhất s + 1 nghiệm thực là
max
1≤i≤[ s2 ]
F0(x2i) 6 c 6 min
0≤j≤[ s−12 ]
F0(x2j+1). (1.12)
13
Định lý 1.13 đã chỉ ra tiêu chuẩn để nhận biết sự tồn tại nguyên hàm cấp 1 của đa
thức f(x) sao cho nguyên hàm đó nhiều hơn đa thức f(x) một nghiệm thực. Nhưng
khi cấp của nguyên hàm tăng lên thì có tồn tại hay không dãy nguyên hàm có số
nghiệm thực cũng tăng lên theo cấp của nó?
Trước hết ta xét các đa thức có số nghiệm thực nhỏ hơn 4.
Định lý 1.14. Giả sử đa thức f(x) ∈ R[x] có 1 nghiệm thực. Gọi Ms(f) là tập hợp
các nguyên hàm cấp s của đa thức f(x). Khi đó, ứng với mọi số nguyên dương s đều
tồn tại đa thức Fs(x) ∈ Ms(f) có ít nhất s + 1 nghiệm thực.
Sau đây ta xét các đa thức có hai nghiệm thực theo phương pháp tương tự như
trên.
Định lý 1.15. Giả sử đa thức f(x) ∈ R[x] có hai nghiệm thực. Gọi Ms(f) là tập
hợp các nguyên hàm cấp s của đa thức f(x). Khi đó, ứng với mọi số nguyên dương s
đều tồn tại đa thức Fs(x) ∈ Ms(f) có (s + 2) nghiệm thực.
Định lý 1.16. Giả sử đa thức f(x) ∈ R[x] có ba nghiệm thực. Gọi Ms(f) là tập hợp
các nguyên hàm cấp s của đa thức f(x). Khi đó, ứng với mọi số nguyên dương s đều
tồn tại đa thức Fs(x) ∈ Ms(f) có s + 3 nghiệm thực.
Các định lý 1.14, 1.15, 1.16 đã khẳng định rằng các đa thức có số nghiệm thực
ít hơn 4 luôn tồn tại dãy các nguyên hàm có số nghiệm thực tăng lên theo mỗi bậc
của nguyên hàm. Tuy nhiên, việc mở rộng các định lý trên cho các đa thức bậc n có
k nghiệm thực tuỳ ý (k < n) chỉ đúng trong các trường hợp đặc biệt. Cụ thể, ta có:
Định lý 1.17. Giả sử đa thức f(x) ∈ R[x] có bậc bằng n và có m(m < n) nghiệm
thực bội m. Gọi Ms(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp s của đa thức f(x). Khi đó,
ứng với mọi số nguyên dương s đều tồn tại đa thức Fs(x) ∈ Ms(f) có s + m nghiệm
thực.
Định lý 1.18. Giả sử đa thức f(x) ∈ R[x] có bậc bằng n và có m(m < n) nghiệm
thực phân biệt. Gọi Ms(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp s của đa thức f(x). Khi
đó, để ứng với mọi số ng