Khái Niệm Phép Dời Hình Và Hai Hình Bằng Nhau & Bài Tập

Phép dời hình là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán THPT. Để làm bài tập thì các em cần ghi nhớ khái niệm, tính chất và các phép dời hình. Cùng VUIHOC điểm lại toàn bộ kiến thức về phép dời hình qua bài viết sau đây.

1. Khái niệm phép dời hình

1.1. Phép dời hình là gì?

Phép dời hình là bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì. Nghĩa là với 2 điểm M, N tùy ý ta có ảnh của chúng M′,N′ tương ứng thì M′N′ = MN.

Ví dụ: Xét phương trình đường thẳng d: 3x + y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng của d với ảnh là d’ qua phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng với tâm I(1;2) và phép tịnh tiến có $\vec{v}$ = (-2;1).

Giải:

Gọi là phép dời hình bằng cách thực hiện tiếp phép đối xứng tâm I và phép tịnh tiến $T_{\vec{v}}$.

Do d’ song song hoặc trùng với ddo đó phương trình của d’ có dạng:

3x+y+c=0. Lấy M(0;3)$\in $d ta có:

$T_{\vec{v}}$(M’) = M’’(2+(-2); 7+1) => M’’(0;8) nên F(M) = M’’(0;8)

Mà M’’$\in $d => 8 + c = 0 <=> c = -8 

Vậy d’: 3x + y – 8=0

1.2. Nhận xét

Một số nhận xét quan trọng về phép dời hình cần phải nắm được đó là:

• Các phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay đều là những phép dời hình.

• Khi thực hiện liên tiếp hai phép dời hình (hay chính là một phép dời hình) ta có phép biến hình.

1.3. Tính chất của phép dời hình

Khi học về phép dời hình cần nắm được một số tính chất cơ bản sau đây:

• Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng với nó.

• Biến ba điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng mà không làm thay đổi thứ tự giữa chúng.

• Biến $\Delta $ thành $\Delta $ bằng với nó.

• Biến một đường tròn thành đường tròn và chúng có cùng bán kính.

• Biến góc thành góc bằng nó.

• Khi thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì sẽ cho ta được một phép dời.

2. Khái niệm về hai hình bằng nhau

Nếu một phép dời hình biến hình này thành hình kia thì hai hình đó bằng nhau.

Ví dụ: Cho tam giác ABC và A’B’C’ có các đường cao AH và A’H’ sao cho AH = A’H’; AB = A’B’; AC = A’C’ và $\widehat{A},\widehat{A’}$ đều là góc tù. Chứng minh 2 tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau.

Giải:

Vì các góc $\widehat{A},\widehat{A’}$ là các góc tù $\widehat{B},\widehat{C};\widehat{B’};\widehat{C’}$ đều là góc nhọn.

=> H nằm giữa B và C và H’ nằm giữa B’ và C’ .

Vì 2 tam giác đều vuông nên:

ABH và A’B’H’ bằng nhau nên có phép dời hình F biến A; B; H lần lượt thành các điểm A’; B’; H’.

Khi đó C biến thành C’. Như vậy, phép dời hình F biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. Do đó hai tam giác bằng nhau.

3. Các phép dời hình đã học

Sau đây là các phép dời hình lớp 11 mà các em cần nắm được để áp dụng khi làm bài tập.

3.1. Phép tịnh tiến

Định nghĩa:

Trong mặt phẳng cho $\vec{v}=(a;b)$. Phép tịnh tiến theo $\vec{v}=(a;b)$ là phép biến hình và biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho $\overrightarrow{MM’}=\vec{v}$

Ký hiệu: $T_{\vec{v}}(M)=M’$ hoặc $T_{\vec{v}}:(M)\rightarrow M’$

Tính chất:

• Nếu phép tịnh tiến biến 2 điểm M và N thành 2 điểm M’, N’ thì MN = M’N’.

• Phép tịnh tiến sẽ biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của 3 điểm đó.

Hệ quả:

Phép tịnh tiến sẽ biến đường thẳng thành đường thẳng, biến 1 tia thành 1 tia, biến đoạn thẳng thành 1 đoạn thẳng bằng nó, biến 1 tam giác thành 1 tam giác bằng nó, biến 1 đường tròn thành 1 đường tròn có cùng bán kính, biến 1 góc thành 1 góc bằng nó.

3.2. Phép đối xứng trục

Định nghĩa: 

Cho đường thẳng d, phép biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó và biến M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực MM’, được gọi là phép đối xứng qua d (hay là phép đối xứng trục).

d được gọi là trục  và phép đối xứng d ký hiệu $Đ_{d}$.

Nhận xét:

$Đ_{d}$(M) = M’ => $Đ_{d}$(M’) = M

M$\in $d => $Đ_{d}$(M) = M

Tính chất:

• Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ.

• Phép đối xứng trục biến 1 đường thẳng thành 1 đường thẳng, biến 1 tam giác thành 1 tam giác bằng nó, biến 1 đoạn thẳng thành 1 đoạn thẳng bằng nó và biến 1 đường tròn thành 1 đường tròn có cùng bán kính.

3.3. Phép đối xứng tâm

Định nghĩa:

Ký hiệu phép đối xứng tâm: $Đ_{I}$

Trong đó: 

• I là tâm đối xứng

• Nếu $Đ_{I}$(H) = H thì ta gọi H đối xứng với H’ qua tâm I hay H và H’ đối xứng nhau qua I.

Ta có $Đ_{I}$(M) = M <=> M’ <=> $\overrightarrow{IM’}=\overrightarrow{IM}$

Tính chất:

• Nếu $Đ_{I}$(M) = M’ và $Đ_{I}$(N) = N’ thì: M’N’ = MN hoặc $\overrightarrow{M’N’}=-\overrightarrow{MN}$.

• Nếu 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự thì qua phép biến đổi xứng tâm biến M’, N’, P’ tương ứng cũng sẽ thẳng hàng theo thứ tự đó.

• Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng trùng hoặc song song với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính, biến tam giác thành tam giác bằng nó.

4. Một số bài tập về phép dời hình trong mặt phẳng từ cơ bản đến nâng cao và cách giải

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy vectơ $\vec{v}$=(1; -3) và có đường thẳng d có phương trình 2x – 3y + 5 = 0. Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến $T_{\vec{v}}$.

Giải:

Ta sử dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến. 

Lấy tùy ý điểm M(x;y) thuộc d, ta có phương trình 2x – 3y + 5 = 0 (*)

Ví dụ 2: Qua phép tịnh tiến theo $\vec{v}$ viết phương trình đường thẳng d. Tính chất của phép tịnh tiến cực hay: d biến thành d’, biết: d’: 2x + 3y – 1 = 0 với Tính chất của phép tịnh tiến cực hay $\vec{v}$=(-2;-1).

Giải:

Gọi $\vec{v}$(d) = d’. Khi đó d // d’ nên phương trình đường thẳng d có dạng: 2x + 3y + C = 0. Chọn A’(2;-1) ∈ d’. Khi đó: $\vec{v}$(A) = A’ ⇒ A(4; 0) ∈ d nên 8 + 0 + C = 0 ⇔ C = -8 

Vậy: d: 2x + 3y – 8 = 0

Ví dụ 3: Tìm tọa độ vectơ $\vec{v}$ sao cho $T_{\vec{v}}$(d) = d’ với d: 3x – y + 1 = 0 và d’: 3x – y – 7 = 0

Giải:

Ta có d’ là ảnh của d qua phép $T_{\vec{v}}$ khi đó d’ trùng hoặc song song với d.

Nhận thấy d song song với d’ nên với mỗi điểm $A\in d; B\in d’$ ta có: 

$T_{\vec{v}}$(d) = d’ <=> $T_{\vec{v}}$(A) = B => $\vec{v}$ = $\overrightarrow{AB}$

Chọn A(0; 1) ∈ d và B(0; 7) ∈ d’ => $\vec{v}$ = (0; 8)

Ví dụ 4: Phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$ = (3; m). Tìm m để đường thẳng d: 4x + 6y – 1 = 0 biến thành chính nó qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$. 

Giải:

Từ đường thẳng d => Vectơ của d là $\vec{u}$ = (-6; 4)

Để $T_{\vec{v}}$(d) = d <=> $\vec{v}$ cùng phương $\vec{u}$

<=> $\frac{3}{-6}=\frac{m}{4}$

<=> 12 = -6m

<=> m = -2

Ví dụ 5: Mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ có phương trình 7x + y – 3 = 0. Qua phép đối xứng trục Oy, tìm ảnh của Δ. 

Giải:

Qua phép đối xứng trục ta có biểu thức:

x’ = -x => x = -x’ 

hoặc y’ = y => y = y’

Thay vào Δ, ta được 7(-x’) + y’ – 3 = 0 hay 7x’ – y’ + 3 = 0. 

=> Ảnh của Δ là: Δ’: 7x – y + 3 = 0

Trên đây là toàn bộ kiến thức lý thuyết và bài tập về phép dời hình. Hy vọng rằng qua bài viết này các em có thể tự tin khi làm bài tập phần này. Để học nhiều hơn kiến thức về toán học lớp 12, truy cập trang web vuihoc.vn ngay nhé!