Hàm ngược là gì? Tính đạo hàm hàm ngược

Hàm ngược có ứng dụng rất lớn mà bạn không nghĩ đến. Đôi lúc, mọi người còn áp dụng các tính chất của hàm này để giải quyết những vấn đề phi toán học. Vậy hàm số ngược là gì mà lại hữu dụng đến vậy? Bài viết này Sforum sẽ giúp bạn hiểu khái niệm và cách tính đạo hàm của hàm số ngược.

Hàm ngược còn được gọi là hàm nghịch đảo (khác với hàm nghịch biến). Về cơ bản, hàm này được hiểu nôm na là một hàm có chứa biến là kết quả của một hàm khác.

Về định nghĩa trong môn toán, hàm ngược là việc hoàn tác lại những gì đã được tính của một hàm. Nếu hàm f có hàm nghịch đảo tương ứng thì ta gọi hàm f khả nghịch. Hàm nghịch đảo của hàm f được ký hiệu là f-1.

Điều kiện để hàm f khả nghịch chính là song ánh. Điều này có nghĩa là với hai tập X và Y đã cho, với mỗi giá trị x thuộc tập X, ta chỉ tìm được một giá trị y tương ứng thuộc tập Y. Khi đó, mối quan hệ này được biểu diễn như sau:

• f(x) = y
• f-1(y)=x

Trong đó, f(x) là hàm chứa biến x đã cho, còn f-1(y) là hàm nghịch đảo của hàm f(x) theo biến y.

Từ mối quan hệ trên, hàm nghịch đảo của f(x) sẽ được biểu diễn ở dạng tổng quát như sau:

f-1(y) = (phần tử duy nhất x ∊ X sao cho f(x) = y)

Với một số hàm cơ bản như ex, 2x,…, việc tìm hàm nghịch đảo sẽ khá lâu. Nhằm rút ngắn quá trình tính toán, bạn có thể tra bảng sau để tìm hàm ngược tương ứng. Để áp dụng công thức thành công, bạn cần chú ý đến phần điều kiện. Nếu hàm không thỏa điều kiện thì chúng không khả nghịch.

Hàm f(x)Hàm ngược f-1(y)Điều kiệnax + b(y – )/baa ≠01/x1/yx, y ≠0xayax, y ≥ 0, p ∈ Z+2xlbyy > 0exlnyy > 010xlogyy > 0axlogayy > 0 và a > 0xexW(y)x ≥- 1 và y ≥ -1/esin(x)arcsin(y)-π/2 ≤ y ≤ π/2cos(x)arccos(y)0 ≤ y ≤ πtan(x)arctan(y)-π/2 < y < π/2cot(x)arccot(y)0 < y < πsec(x)arcsec(y)0 < y < π và y ≠ π/2csc(x)arccsc(y)-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0sinh(x)arsinh(y)cosh(x)arcosh(y)y 1tanh(x)artanh(y)|y| < 1coth(x)arcoth(y)|y| > 1sech(x)arsech(y)0 < y ≤ 1csch(x)arcsch(y)

Để giúp bạn hiểu rõ hơn về hàm nghịch đảo, Sforum sẽ đưa ra một số ví dụ cụ thể như sau:

Mỗi hàm bậc nhất luôn luôn có một hàm nghịch đảo tương ứng, hay có thể nói mọi hàm bậc nhất đều khả nghịch. Xét ví dụ với hàm f(x) = 2x – 3. Khi đó, hàm nghịch đảo của f(x) = 2x – 3 là f-1(y) = (y + 3)/2.

Mọi hàm bình phương đều không khả nghịch trên miền giá trị R. Để khả nghịch, bạn buộc phải xét hàm bình phương trên khoảng giá trị không âm. Với hàm f(x) = x2 có miền giá trị [0,) thì hàm f-1(y) = y.

Trước khi tính đạo hàm của hàm nghịch đảo, bạn cần xét tính khả vi của hàm. Nếu hàm f khả vi trên khoảng A thì hàm nghịch đảo của hàm f, tức f-1, sẽ khả vi trên khoảng f(A). Theo định lý hàm ngược, đạo hàm của hàm này được tính theo công thức tổng quát:

(f-1)'(y) = 1/(f'(x))

Hàm nghịch đảo có một số tính chất cơ bản dựa vào bản chất hàm. Bạn có thể dựa vào chúng để áp dụng và giải các bài toán.

Mỗi hàm f xác định chỉ có duy nhất một hàm nghịch đảo f-1 tương ứng. Ngược lại, mỗi hàm f-1 cũng chỉ có duy nhất một hàm f tương ứng.

Hàm f và hàm ngược của hàm f có tính đối xứng với nhau. Tính chất này thể hiện rõ nhất qua đồ thị của hai hàm trên hệ trục Oxy.

Theo đồ thị, mọi các cặp hàm f và f-1  đều đối xứng qua một trục, là đường thẳng y=x. Bên cạnh hàm bậc 1 và bậc 2, các hàm sơ cấp khác cũng có tính chất đối xứng này.

Ngoài ra, hàm hợp cũng thể hiện tính chất này nhưng không thể hiện qua đồ thị của hàm.  Thay vào đó, tính chất thể hiện thông qua cách tính toán theo phương pháp đại số. Hàm nghịch đảo của hàm hợp g°f là (g°f)-1= f-1 ºg-1. Với hàm hợp, khi tính toán, thứ tự tính các hàm sẽ bị thay đổi, cụ thể là g đổi chỗ với f.

Đồ thị của hàm ngược

Sau đây là đồ thị biểu diễn hàm nghịch đảo của hàm 2x:

Về bản chất thì đây là hàm đồng nhất. Khi biểu diễn trên đồ thị, hàm tự nghịch đảo chính là trục đối xứng của chính nó và các hàm khác. Hàm y = x là một trong những hàm tự nghịch đảo đã được công bố.

Để tính toán hàm nghịch đảo, bạn cần áp dụng quy tắc làm và công thức. Nội dung sau đây Sforum không chỉ cung cấp cho bạn hai tài nguyên này mà còn hướng dẫn tìm đạo hàm của hàm nghịch đảo.

Các bước cơ bản để tính hàm ngược

• Bước 1: Đưa hàm đã cho về dạng y = f(x).
• Bước 2: Xét điều kiện song ánh của hàm f(x).
• Bước 3: Nếu thỏa điều kiện thì biến đổi về dạng x = f(y).
• Bước 4: Kết luận.

Với hàm lượng giác nghịch đảo, bạn cũng làm theo các bước cơ bản nêu trên. Tuy nhiên, lưu ý các giá trị của hàm luôn nhỏ hơn 1 hoặc là dạng radian.

Bài tập 1: Tìm hàm nghịch đảo của hàm f(x) = ln (x + 3)

Lời giải:

Điều kiện x (-3;∞)

Ta có: ln (x + 3) = y

⇔ x + 3 = ey

⇔ x = ey – 3

Vậy hàm nghịch đảo của hàm f(x) = ln (x + 3) là f-1= ey – 3.

Bài tập 2: Cho  f(x) = (3x + 2)/(x+1). Hãy tìm hàm nghịch đảo của hàm trên

Lời giải:

Điều kiện x ≠ -1

Ta có: (3x + 2)/(x+1) = y

⇔ 3x + 2 = y (x + 1)

⇔ 3x + 2 = yx + y

⇔ 3x – yx = y – 2

⇔ x (3 – y) = y – 2

⇔ x = (y – 2)/(3-y)

Vậy hàm nghịch đảo của hàm f(x) đã cho là f-1 = (y – 2)/(3-y).

Nói chung, hàm ngược không có tính ứng dụng cao và chỉ được nhắc đến sơ qua trong chương trình phổ thông. Tuy nhiên, lý thuyết và tính ứng dụng của loại hàm này đã được lồng ghép sẵn vào trong cách tính toán và những bài học cơ bản khác. Nếu muốn tìm hiểu thêm những công thức toán học khác, hãy theo dõi Sforum để có câu trả lời nhé.