Giải bài tập toán 12 bài 1 Sự đồng biến nghịch biến của hàm số chi tiết

Giải bài tập toán 12 bài 1 Sự đồng biến nghịch biến của hàm số được giải và chỉnh sửa và biên tập từ đội ngũ giáo viên dạy giỏi môn toán trên toàn nước. Đảm bảo đúng chuẩn, dễ hiểu giúp những em triển khai xong bài tập Sự đồng biến nghịch biến của hàm số nhanh gọn, thuận tiện .
Giải bài tập toán 12 bài 1 Sự đồng biến nghịch biến của hàm số thuộc : Chương 1 : Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số .

Hướng dẫn trả lời câu hỏi SGK toán 12 bài 1: Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 4: Từ đồ thị (H.1, H.2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số y = cosx trên đoạn [(-π)/2; 3π/2] và các hàm số y = |x| trên khoảng (-∞; +∞).

Lời giải:

– Hàm số y = cosx trên đoạn [ ( – π ) / 2 ; 3 π / 2 ] :
Các khoảng chừng tăng : [ ( – π ) / 2,0 ], [ π, 3 π / 2 ] .
Các khoảng chừng giảm : [ 0, π ], .
– Hàm số y = | x | trên khoảng chừng ( – ∞ ; + ∞ )
Khoảng tăng : [ 0, + ∞ )
Khoảng giảm ( – ∞, 0 ] .

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 5: Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng:

a ) y = – x2 / 2 ( H. 4 a ) b ) y = 1 / x ( H. 4 b )

Xét dấu đạo hàm của mỗi hàm số và điền vào bảng tương ứng .

Lời giải:

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 7: Khẳng định ngược lại với định lí trên có đúng không ? Nói cách khác, nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó có nhất thiết phải dương (âm) trên đó hay không ?

Lời giải:

Xét hàm số y = x3 có đạo hàm y ’ = 3×2 ≥ 0 với mọi số thực x và hàm số đồng biến trên hàng loạt R. Vậy khẳng định chắc chắn ngược lại với định lý trên chưa chắc đúng hay nếu hàm số đồng biến ( nghịch biến ) trên K thì đạo hàm của nó không nhất thiết phải dương ( âm ) trên đó .

Hướng giải bài tập SGK toán 12 bài 1: Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Bài 1 (trang 9 SGK Giải tích 12): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a ) y = 4 + 3 x – x2

b) 

c ) y = x4 – 2×2 + 3
d ) y = – x3 + x2 – 5

Lời giải:

a) Tập xác định : D = R

y ‘ = 3 – 2 x

y’ = 0 ⇔ 3 – 2x = 0 ⇔ x = 

Ta có bảng biến thiên :

Vậy hàm số đồng biến trong khoảng chừng ( – ∞ ; 3/2 ) và nghịch biến trong khoảng chừng ( 3/2 ; + ∞ ) .

b) Tập xác định : D = R

y ‘ = x2 + 6 x – 7
y ‘ = 0 ⇔ x = – 7 hoặc x = 1
Ta có bảng biến thiên :

Vậy hàm số đồng biến trong những khoảng chừng ( – ∞ ; – 7 ) và ( 1 ; + ∞ ) ; nghịch biến trong khoảng chừng ( – 7 ; 1 ) .

c) Tập xác định: D = R

y ‘ = 4×3 – 4 x .

y’ = 0 ⇔ 4×3 – 4x = 0 ⇔ 4x.(x – 1)(x + 1) = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên :

Vậy hàm số nghịch biến trong những khoảng chừng ( – ∞ ; – 1 ) và ( 0 ; 1 ) ; đồng biến trong những khoảng chừng ( – 1 ; 0 ) và ( 1 ; + ∞ ) .

d) Tập xác định: D = R

y ‘ = – 3×2 + 2 x

y’ = 0 ⇔ -3×2 + 2x = 0 ⇔ x.(-3x + 2) = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên :

Vậy hàm số nghịch biến trong những khoảng chừng ( – ∞ ; 0 ) và ( 2/3 ; + ∞ ), đồng biến trong khoảng chừng ( 0 ; 2/3 ) .

Kiến thức áp dụng

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( x ) .
Bước 1 : Tìm tập xác lập .
Bước 2 : Tính đạo hàm y ’. Tìm những giá trị của x để f ’ ( x ) = 0 hoặc f ’ ( x ) không xác lập .
Bước 3 : Sắp xếp những giá trị của x ở trên theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên .

Lưu ý: Dấu của f’(x) trong một khoảng trên bảng biến thiên chính là dấu của f’(x) tại một điểm x0 bất kì trong khoảng đó. Do đó, ta chỉ cần lấy một điểm x0 bất kì trong khoảng đó rồi xét xem f’(x0) dương hay âm.

Bước 4 : Kết luận về khoảng chừng đồng biến và nghịch biến của hàm số .

Bài 2 (trang 10 SGK Giải tích 12): Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

Lời giải:

a) Tập xác định: D = R \ {1}

y ‘ không xác lập tại x = 1
Bảng biến thiên :

Vậy hàm số đồng biến trên những khoảng chừng ( – ∞ ; 1 ) và ( 1 ; + ∞ ) .

b) Tập xác định: D = R \ {1}

y ’ < 0 với ∀ x ∈ D ( vì – x2 + 2 x – 2 < 0 ) . y ' không xác lập tại x = 1 Bảng biến thiên :

Vậy hàm số nghịch biến trong những khoảng chừng ( – ∞ ; 1 ) và ( 1 ; + ∞ )

c) Tập xác định: D = (-∞ ; -4] ∪ [5; +∞)

y’ không xác định tại x = -4 và x = 5

Bảng biến thiên :

Vậy hàm số nghịch biến trong khoảng chừng ( – ∞ ; – 4 ) ; đồng biến trong khoảng chừng ( 5 ; + ∞ ) .

d) Tập xác định: D = R \ {±3}

y ’ < 0 với ∀ x ∈ D . y ' không xác lập tại x = ± 3 Bảng biến thiên :

Vậy hàm số nghịch biến trong những khoảng chừng ( – ∞ ; – 3 ) ; ( – 3 ; 3 ) và ( 3 ; + ∞ ) .

Kiến thức áp dụng

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( x ) .
Bước 1 : Tìm tập xác lập .
Bước 2 : Tính đạo hàm y ’. Tìm những giá trị của x để f ’ ( x ) = 0 hoặc f ’ ( x ) không xác lập .
Bước 3 : Sắp xếp những giá trị của x ở trên theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên .

Lưu ý: Dấu của f’(x) trong một khoảng trên bảng biến thiên chính là dấu của f’(x) tại một điểm x0 bất kì trong khoảng đó. Do đó, ta chỉ cần lấy một điểm x0 bất kì trong khoảng đó rồi xét xem f’(x0) dương hay âm.

Bước 4 : Kết luận về khoảng chừng đồng biến và nghịch biến của hàm số .

Bài 3 (trang 10 SGK Giải tích 12): Chứng minh rằng hàm số  đồng biến trên khoảng (-1; 1), nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

Lời giải:

TXĐ : D = R

+ Hàm số nghịch biến
⇔ y ’ < 0 ⇔ 1 – x2 < 0 ⇔ x2 > 1
⇔ x ∈ ( – ∞ ; – 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) .
+ Hàm số đồng biến
⇔ y ’ > 0
⇔ 1 – x2 > 0
⇔ x2 < 1 ⇔ x ∈ ( - 1 ; 1 ) . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng chừng ( - 1 ; 1 ) và nghịch biến trên những khoảng chừng ( - ∞ ; - 1 ) và ( 1 ; + ∞ ) .

Kiến thức áp dụng

Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng chừng K xác lập :
+ Nếu f ’ ( x ) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K . + Nếu f ’ ( x ) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K .

Bài 4 (trang 10 SGK Giải tích 12): Chứng minh rằng hàm số  đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Lời giải:

TXĐ : D = [ 0 ; 2 ]

+ Hàm số đồng biến
⇔ y ’ > 0
⇔ 0 < x < 1 . + Hàm số nghịch biến ⇔ y ’ < 0 ⇔ 1 < x < 2 . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng chừng ( 0 ; 1 ), nghịch biến trên khoảng chừng ( 1 ; 2 ) .

Kiến thức áp dụng

Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng chừng K xác lập :
+ Nếu f ’ ( x ) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K . + Nếu f ’ ( x ) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K .

Bài 5 (trang 10 SGK Giải tích 12): Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Lời giải:

a ) Xét hàm số y = f ( x ) = tanx – x trên khoảng chừng ( 0 ; π / 2 )

Ta có: y’ =  > 0 với ∀ x ∈ R.

⇒ hàm số đồng biến trên khoảng chừng ( 0 ; π / 2 )
⇒ f ( x ) > f ( 0 ) = 0 với ∀ x > 0
hay tan x – x > 0 với ∀ x ∈ ( 0 ; π / 2 )
⇔ tan x > x với ∀ x ∈ ( 0 ; π / 2 ) ( đpcm ) .

b) Xét hàm số y = g(x) = tanx – x –  trên 

Theo kết quả câu a): tanx > x ∀ x ∈ 

⇒ g ‘ ( x ) > 0 ∀ x ∈
⇒ y = g ‘ ( x ) đồng biến trên
⇒ g ( x ) > g ( 0 ) = 0 với ∀ x ∈

Kiến thức áp dụng

+ Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng chừng K xác lập :

Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Nếu f ’ ( x ) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K .

+ 

Giải bài tập toán 12 bài 1 Sự đồng biến nghịch biến của hàm số được đội ngũ giáo viên giỏi toán biên soạn bám sát theo chương trình SGK toán học lớp 12 mới của Bộ GD&ĐT. Soanbaitap. com gửi đến những bạn học viên rất đầy đủ những bài giải toán 12 và cách Giải Sách bài tập toán học lớp 12 hay nhất giúp những em chinh phục môn toán 12. Nếu thấy hay hãy comment và san sẻ để nhiều bạn khác cùng học tập .

Source: https://evbn.org
Category: Bài Tập