Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm – Đại số và Giải tích toán lớp 11 – chuabaitap.com

1. Đạo hàm tại một điểm

1.1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

– Giới hạn hữu hạn (nếu có)

                                             

\(\lim\limits_{t \to t_0}=\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}\)

 được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm 

\(t_0\)

.

– Giới hạn hữu hạn (nếu có)

                                             

\(\lim\limits_{t \to t_0}=\frac{Q(t)-Q(t_0)}{t-t_0}\)

 

được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm 

\(t_0\)

.

1.2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Định nghĩa

Cho hàm số

\(y=f(x)\)

 xác định trên khoảng

\((a;b)\)

 và 

\(x_0\in (a;b)\)

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) 

                                                

\(\lim\limits_{x \to x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số

\(y=f(x)\)

 tại điểm

\(x_0\)

 và kí hiệu là

\(f'(x_0)\)

 (hoặc

\(y'(x_0)\)

), tức là

                                                    

\(f'(x_0)=\lim\limits_{x \to x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)

1.3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Quy tắc

– Bước 1: giả sử

\(\triangle x\)

 là số gia của đối số tại

\(x_0\)

, tính

                                     

\(\triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)\)

– Bước 2: Lập tỉ số 

\(\frac{\triangle y}{\triangle x}\)

– Bước 3: Tìm 

\(\lim\limits_{\triangle x \to 0 } \frac{\triangle y}{\triangle x}\)

1.4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lí 1

Nếu hàm số

\(y=f(x)\)

 có đạo hàm tại điểm

\(x_0\)

 thì nó liên tục tại điểm đó

Chú ý

a) Định lí trên tương đương với khẳng định:

Nếu hàm số

\(y=f(x)\)

 gián đoạn tại

\(x_0\)

 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.

b) Mệnh đề đảo của Định lí 1 không đúng:

Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

1.5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí 2

Đạo hàm của hàm số

\(y=f(x)\)

 tại điểm

\(x_0\)

 là hệ số góc của tiếp tuyến

\(M_0T\)

 của

\((C)\)

 tại điểm 

\(M_0(x_0;f(x_0))\)

Định lí 3

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

\((C)\)

 của hàm số

\(y=f(x)\)

 tại điểm

\(M_0(x_0;f(x_0))\)

 là 

                                                     

\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)

trong đó 

\(y_0=f(x_0)\)

1.6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

a) Vận tốc tức thời

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

\(s=s(t)\)

, với 

\(s=s(t)\)

 là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm

\(t_0\)

 là đạo hàm của hàm số

\(s=s(t)\)

 tại 

\(t_0\)

                                                

\(v(t_0)=s'(t_0)\)

b) Cường độ tức thời 

Nếu điện lượng

\(Q\)

 truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian

\(Q=Q(t)\)

 (

\(Q=Q(t)\)

 là một hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm

\(t_0\)

 là đạo hàm của hàm số

\(Q=Q(t)\)

 tại 

\(t_0\)

                                               

\(I(t_0)=Q'(t_0)\)

2. Đạo hàm trên một khoảng

Định nghĩa

Hàm số

\(y=f(x)\)

 được gọi là có đạo hàm trên khoảng

\((a;b)\)

 nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm

\(x\)

 trên khoảng đó.

Khi đó, ta gọi hàm số : 

\(f’: (a;b)\rightarrow R\)

                                             

\(x \rightarrow f'(x)\)

là đạo hàm của hàm số

\(y=f(x)\)

 trên khoảng

\((a;b)\)

, kí hiệu là

\(y’\)

 hay 

\(f'(x)\)

.