Đề thi HSG cấp huyện môn toán lớp 9 (25 đề kèm đáp án)

Ngày đăng : 16/11/2018, 20 : 39

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 01Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)(Đề thi HSG Toán 9 –H. Đông Sơn Năm học 2018 – 2019)ĐỀ BÀICâu 1 (4.0 điểm)1.Cho biểu thức a. Rút gọn Mb. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên 2. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của biểu thức: . Câu 2 (4.0 điểm)1.Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2xy2 + x +y +1 = x2 +2y2+xy2. Giải phương trình : Câu 3 (4.0 điểm)1.Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên thì A= ( 10n + 10n1 +…+ 10 + 1) ( 10n+1+5) +1 là số chính phương nhưng không phải lập phương của một số tự nhiên.2. Tìm các cặp số thực (x;y) thỏa mãn các điều kiện: Câu 4 (6.0 điểm)Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M, CM cắt AH tại I, OM cắt AB tại J a. Chứng minh hai tam giác MOB và ACH đồng dạngb. Chứng minh I là trung điểm của AHc. Cho BC = 2R và OM = x. Tính AB và AH theo R và xd. Tính giá trị lớn nhất của AH khi x thay đổiCâu 5 (2.0 điểm)Cho các số thực dương x, y thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x+yHết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 01(Đề thi HSG Toán 9 –H. Đông Sơn Năm học 2018 – 2019).CâuNội dungĐiểm11. (3,0 điểm)a. ĐKXĐ: x ; M= b, M= = Để M nguyên => Ư(3) ( Vì ĐKXĐ)=> x= 0 ( thỏa mãn ĐKXĐ) x = 4 ( Không thỏa mãn ĐKXĐ)Vậy x= 0 thì M nhận giá trị nguyên 2. (1,0 điểm) Ta có: Tương tự: 0,5 1,5 0,250,50,50,25 0,50,50,50,521.(2,0 điểm)Ta có 2xy2 +x +y +1 = x2+ 2y2 +xy 2y2( x 1) – x( x1) – y( x1) +1 = 0 (1)Nhận thấy x= 1 không phải là nghiệm của phương trình (1) chia cả hai vế cho x1 ta được 2y2 –x –y + = 0(2)Vì pt có nghiệm x,y nguyên nên nguyên nên x1 Thay x= 0 vào (2) ta được 2y2 –y 1 = 0 => y = 1; y = Thay x= 2 vào (2) ta được 2y2 –y – 1=0 => y =1; y = Vậy (x,y) 2.(2,0 điểm)ĐK: Vì nên Suy ra : ™Vậy pt có nghiệm : 0,5 0,75 0,5 0,25 0,250,50,50,50,2531. (2,0 điểm)Ta có Vậy A là số chính phươngMặt khác = 22. = ADo A nhưng A không chia hết cho 8 nên A không thể là lập phương của một số tự nhiên 2. (2,0 điểm)Điều kiện: Theo gt ta có Đặt , khi đó : Suy ra hoặc Nếu thì (thỏa mãn)Nếu thì (thỏa mãn)Vậy : 0,5 0,50,50,250,250,250,250,250,750,754 a. (2,0 điểm) Chứng minh  Ta có MA = MB ( Tc tiếp tuyến)OA = OB = R => OM là trung trực của đoạn AB=> OM vuông góc với AB tại J nên OM AC => =>  (g.g)b.(1,5 điểm) Trong có HIBM nên (1)  => (2)Chia (1) cho (2) theo từng vế ta được => I là trung điểm của AHc.(0,75 điểm) vuông ở B nên OB2 = OJ. OM => OJ = OJB vuông ở J nên BJ2 = OB2 – OJ2 = => BJ = với x > R ABC vuông ở A nên AC2 = BC2 – AB2 = => AC = Lại có BC. AH = AB. AC => AH = = với x > Rd.(0,75 điểm) Ta chứng minh: AH ≤ R (3) ≤ R 2R 4R2 ( x2 – R2) ≤ x4 x4 – 4R2 x2 + 4R4 ≥ 0 (x2 – 2R2)2 ≥ 0 với x > RDấu = xảy ra khi và chỉ khi x2 – 2R2 = 0 x = R Vậy AH đạt giá trị lớn nhất bằng R khi x = R 2,0 1,50,750,755(2,0 điểm)Do x, y > 0 và ta suy ra x > y > 0 và xy(xy)2 = (x+y)2 (1)Đặt a = x+ y; b = xy (a, b > 0 ; a2 4b)Ta có: (1) Suy ra: b1 > 0 và Lại có: (theo bđt cô si) Do đó: Mà a > 0 nên Dấu “=” xảy ra khi Khi đó: (Vì x > y) Vậy Min (x+y)=4 khi .0.250.25 0.250.250.250.250.250.25Hết ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 02Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 24102017Năm học 2017 2018ĐỀ BÀICâu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A.b) Tính giá trị của A khi c) So sánh A với .Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình : . b) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: Câu 3: (4,0 điểm)a)Cho a, b, c là 3 số nguyên thỏa mãn: a + b + c =. Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 chia hết cho 5. b) Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng: là số hữu tỉ.Câu 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.a) Chứng minh rằng: và b) Chứng minh rằng : c) Nếu = thì khi đó tam giác ABC là tam giác gì? Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác đều ABC; các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho BD cắt CE tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính Câu 6: (2,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = Hết n MCD  sin MDC b Chứng minh: OK  AH (2 R  AH ) c Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất. -Hết https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 121 “Đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (25 đề + đáp án chi tiết)” HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 25 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MƠN: TỐN – LỚP (Đề thi HSG Tốn –Phòng GD&ĐT Thanh Chương – Năm học 2010 – 2011) Điểm Nội dung cần đạt Câu Ý Q  x  x  2 x  10  x a (2,0đ)  x  x 2   x  2   0,5 x   x  13  10  x   2.2   (2  5)  2  b Vậy: Q   2    2   2   2.( 5)  2 10 y  x  2m  ; với m tham số Để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) thì a 0,5 0,5 0,25 2 m    m   Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A  2m  1;0  Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B  0; 2m  1 b Ta có:  AOB vng tại O và có OH là đường cao nên: (2,0đ) 0,5 0,5 0,5 m  1 1 Hay        2 2 OH OA OB x A yB (2m  1)  m  1 Hoành độ trung điểm I của AB: xI  c Tung độ trung điểm I của AB: yI  x A  xB m   2 y A  yB (2m  1)  2 Ta có: yI   xI  Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là 0,5 0,25 đường thẳng y   x Điều kiện: x  (2,5đ) 0,2 x 1  x   x   x   x   x    x   x  0,2 a    x  1  x 1 x    x  1 x 1 x    x   x     ( x   2)2   x   https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 0,3 0,3 122 “Đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (25 đề + đáp án chi tiết)” Vậy nghiệm của pt là: x  Với a; b là hai số dương ta có:  a  b b   1    2.a  b.1   2a  b2    1 (Theo 2    Bunhiacopski)   a  b    a   (Vì a  b  ) Hay 3(a  6)  (a  b) x  xy  2008 x  2009 y  2010   x  xy  x  2009 x  2009 y  2009   x( x  y  1)  2009( x  y  1)   ( x  2009)( x  y  1)  c   x  2009    x  2010     x  y      y  2010   x  2009  1   x  2008     x  y   1   y  2010 K O D (3,5đ) 0,25 0,5 0,25 0,25 C B 0,25 0,25 M H A Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vng tại M nên: a · · · · = sin MBA  sin MAB  sin MCD  sin MDC · 2· · 2· (sin MBA  cos MBA)  (sin MCD  cos MCD) = 1 + 1 = 2 Chứng minh: OK  AH (2 R  AH ) Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH b Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vng MAB có MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R – AH Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH) P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH c (Vì MK = OH) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 0,75 0,5 0,5 0,25 0,25 123 “Đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (25 đề + đáp án chi tiết)” Mà OH.MH  Vậy P  R  OH = OH  MH OM R (Pitago)   2 R2  R đẳng thức xẩy ra  MH = OH R 0,25 0,25 -Hết https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 124 … Đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (25 đề + đáp án chi tiết)” HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 25 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TỐN – LỚP (Đề thi HSG Tốn –Phòng GD&ĐT Thanh…   x   https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408 296 -loc-tin-tai.htm 0,3 0,3 122 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (25 đề + đáp án chi tiết)” Vậy nghiệm của pt là: x  Với … https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408 296 -loc-tin-tai.htm 0,75 0,5 0,5 0,25 0,25 123 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (25 đề + đáp án chi tiết)” Mà OH.MH  Vậy P  R