CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ - Chuyên đề toán THPT

ĐẠO HÀM HÀM CỦA HÀM SỐ

I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1.Định nghĩa đạo hàm tại một điểm:
– Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $(a; b)$ và $x_0 \in (a; b):$
$f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}=
\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ $(\Delta x = x – x_0, \Delta y = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)$
– Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại $x_0 $thì nó liên tục tại điểm đó.
2.Ý nghĩa của đạo hàm:
a)Ý nghĩa hình học:
– $f'(x_0)$ là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại $M\left( {{x_0};f({x_0})} \right)$.
– Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x$) tại $M\left( {{x_0};f({x_0})} \right)$ là: $y – y_0 = f'(x_0).(x – x_0)$
b)Ý nghĩa vật lí:
– Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s = s(t)$ tại thời điểm $t_0$ là $v(t_0) = s'(t_0)$.
– Cường độ tức thời của điện lượng $Q = Q(t)$ tại thời điểm $t_0$ là $I(t_0) = Q'(t_0)$.
3.Qui tắc tính đạo hàm:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Hàm số sơ cấp} & \textbf{Hàm hợp} && \textbf{Hàm số sơ cấp} & \textbf{Hàm hợp} \\
\hline
(C)’=0 &&&(\sin{x})’=\cos{x}&(\sin{u})’=u’\cos{u} \\
\hline
(x)’=0 &&&(\cos{x})’=-\sin{x}&(\cos{u})’=-u’\sin{u} \\
\hline
(x^n)’=1 &(u^n)’=n.u^{n-1}.u’&&(\tan{x})’=\frac{1}{\cos^2{x}}&(\tan{u})’=\frac{u’}{\cos^2{u}} \\
\hline
(\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}}&(\sqrt{u})’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}&&(\cot{x})’=-\frac{1}{\sin^2{x}}&(\cot{u})’=-\frac{u’}{\sin^2{u}} \\
\hline
\end{array}$

Chú ý: Các phép toán tính đạo hàm:
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\textbf{Phép toán} & \textbf{Công thức} & \textbf{Trường hợp riêng} \\
\hline
Cộng & (u+v)’=u’+v’& \\
\hline
Trừ & (u-v)’=u’-v’& \\
\hline
Nhân & (uv)’=u’v+uv’ & (ku)’=ku’ \\
\hline
Chia & (\frac{u}{v})’=\frac{u’v-uv’}{v^2} & (\frac{1}{v})’=-\frac{v’}{v^2} \\
\hline
\end{array}$

Chú ý: Khi lấy đạo hàm của một hàm số thì ta nhìn từ trái sang phải và ưu tiên cho phép toán.

5.Vi phân:
– $dy = df(x) = f\prime (x).\Delta x$
– $f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f\prime ({x_0}).\Delta x$
6.Đạo hàm cấp cao:
– Công thức: $f”(x) = {\left[ {f'(x)} \right]^\prime }$; $f”'(x) = {\left[ {f”(x)} \right]^\prime }$; ${f^{(n)}}(x) = {\left[ {{f^{(n – 1)}}(x)} \right]^\prime }$ $(n \in \mathbb{N}, n \ge 4)$
– Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động $s = f(t)$ tại thời điểm $t_0$ là $a(t_0) = f”(t_0)$.
II.CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Vấn đề 1: Tính đạo hàm của hàm số:
Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa:
Phương pháp: Nếu tính đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ bằng định nghĩa ta thực hiện các bước:
Bước 1: Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0$. Tính $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)$.
Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.
Bước 3: Kết luận.
Ví dụ 1: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của các hàm số sau: $y\, = \,\,f(x)\,\, = \,\,2{x^2} – x$ tại ${x_0} = 1$.
Giải:
– Giả sử $\Delta{x}$ là số gia của đối số tại $x_0 = 1$.
Khi đó: $\Delta y\, = \,\,f(\Delta x + 1)\, – f(1)\, = \,\,2{(\Delta x + 1)^2} – \Delta x – 1 – 1 = 2\Delta {x^2} + 3\Delta x$.
– Tính $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\Delta {x^2} + 3\Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2\Delta x + 3} \right) = 3$.
– Vậy: $f'(1) = 3$
Ví dụ 2: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số sau: $f(x)\,\, = \,\,{x^2} – 3x$
Giải:
– Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x$.
Khi đó: $\Delta y\, = \,\,f(\Delta x + x)\, – f(x)\, = \,\,{(\Delta x + x)^2} – 3\Delta x – 3x – {x^2} + 3x = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2x\Delta x = \Delta x(\Delta x + 2x)$.
– Tính $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta x(\Delta x + 2x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2x} \right) = 2x$.
– Vậy: $f'(x) = 2x$
Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra:
a) $y\, = \,\,f(x)\,\, = \,\,2{x^2} – x + 2$ tại ${x_0} = 1$

b) $y\, = \,\,f(x)\,\, = \,\,\sqrt {3 – 2x} $ tại ${x_0} = -3$
c) $y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\frac{{2x + 1}}{{x – 1}}$ tại ${x_0} = 2$

d) $y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\sin x$ tại $x_0 =\frac{\pi}{6}$
e) $y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\sqrt[3]{x}$ tại $x_0 = 1$

f) $y\,\, = \,f(x)\,\, = \,\,\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x – 1}}$ tại $x_0 = 0$
Bài tập 2: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số sau:
a) $f(x)\,\, = \,\,{x^2} – 3x + 1$

b) $f(x)\,\, = \,\,\sqrt {x + 1} ,\,\,(x\,\, > \,\, – 1)$
c) $f(x)\,\, = \,\,\frac{1}{{2x – 3}}$

d) $f(x)\,\, = \,\,\sin x$
Dạng 2: Tính đạo hàm bằng phép toán:
Phương pháp: Sử dụng công thức cho trong bảng sau:
Phép toán Công thức
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\textbf{Phép toán} & \textbf{Công thức} & \textbf{Trường hợp riêng} \\
\hline
Cộng & (u+v)’=u’+v’& \\
\hline
Trừ & (u-v)’=u’-v’& \\
\hline
Nhân & (uv)’=u’v+uv’ & (ku)’=ku’ \\
\hline
Chia & (\frac{u}{v})’=\frac{u’v-uv’}{v^2} & (\frac{1}{v})’=-\frac{v’}{v^2} \\
\hline
\end{array}$

Ví dụ 1: $y\,\, = \,2{x^4} – \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} – 5 \Rightarrow y’ = 8{x^3} – {x^2} + 4x$
Ví dụ 2: $y\,\, = \,\,\frac{{2x + 1}}{{1 – 3x}} \Rightarrow y’ = \frac{{(2x + 1)'(1 – 3x) – (2x + 1)(1 – 3x)’}}{{{{(1 – 3x)}^2}}} = \frac{{2(1 – 3x) + 3(2x + 1)}}{{{{(1 – 3x)}^2}}} = \frac{5}{{{{(1 – 3x)}^2}}}$
Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y\,\, = \,2{x^4} – \frac{1}{3}{x^3} + 2\sqrt x – 5$

b) $y\,\, = \,\,\frac{3}{{{x^2}}} – \sqrt x + \frac{2}{3}x\sqrt x $
c) $y\,\, = \,\,({x^3} – 2)(1 – {x^2})$

d) $y\,\, = \,\,({x^2} – 1)({x^2} – 4)({x^2} – 9)$
e) $y = ({x^2} + 3x)(2 – x)$

f) $y\,\, = \,\,\left( {\sqrt x + 1} \right)\,\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} – 1} \right)$
g) $y\,\, = \,\,\frac{3}{{2x + 1}}$

h) $y\,\, = \,\,\frac{{2x + 1}}{{1 – 3x}}$
i) $y = \frac{{1 + x – {x^2}}}{{1 – x + {x^2}}}$

k) $y\,\, = \,\,\frac{{{x^2} – 3x + 3}}{{x – 1}}$
Bài tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y\,\, = \,x.c{\rm{osx}}$ b) $y\,\, = \,\,{x^2}.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$
c) $y\,\, = \,\,x.\sqrt x $ d) $y = \frac{{1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{1 – {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}$
Dạng 3: Tính đạo hàm hàm hợp:
Phương pháp: Sử dụng công thức cho bởi bảng sau:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Hàm số sơ cấp} & \textbf{Hàm hợp} && \textbf{Hàm số sơ cấp} & \textbf{Hàm hợp} \\
\hline
(C)’=0 &&&(\sin{x})’=\cos{x}&(\sin{u})’=u’\cos{u} \\
\hline
(x)’=0 &&&(\cos{x})’=-\sin{x}&(\cos{u})’=-u’\sin{u} \\
\hline
(x^n)’=1 &(u^n)’=n.u^{n-1}.u’&&(\tan{x})’=\frac{1}{\cos^2{x}}&(\tan{u})’=\frac{u’}{\cos^2{u}} \\
\hline
(\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}}&(\sqrt{u})’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}&&(\cot{x})’=-\frac{1}{\sin^2{x}}&(\cot{u})’=-\frac{u’}{\sin^2{u}} \\
\hline
\end{array}$

Chú ý: Sau các hàm không phải $x$ thì ta sử dụng hàm hợp $u$. Để khỏi quên thì các em có thể sử dụng tất cả các bài toán đều cho hàm hợp $u$ vẫn được.
Ví dụ 1: $y\,\, = \,\,{({x^2} + x)^4} \Rightarrow y’ = 4{({x^2} + x)^3}.({x^2} + x)’ = 4(2x + 1){({x^2} + x)^3}$
Ví dụ 2: $y\,\, = \,\,\sqrt {2{x^2} – 5x} \Rightarrow y’ = \frac{{(2{x^2} – 5x)’}}{{2\sqrt {2{x^2} – 5x} }} = \frac{{4x – 5}}{{2\sqrt {2{x^2} – 5x} }}$
Ví dụ 3:$y\,\, = \,\,{\sin ^3}(2x + 1) \Rightarrow y’ = 3{\sin ^2}(2x + 1).(\sin (2x + 1))’ = 3{\sin ^2}(2x + 1).c{\rm{os}}(2x + 1)(2x + 1)’ = 6{\sin ^2}(2x + 1).c{\rm{os}}(2x + 1)$
Ví dụ 4: $y = \sqrt {\sin x + 2x} \Rightarrow y’ = \frac{{({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + 2x}})’}}{{2\sqrt {\sin x + 2x} }} = \frac{{c{\rm{osx + 2}}}}{{2\sqrt {\sin x + 2x} }}$
Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y\,\, = \,\,{({x^2} + x + 1)^4}$

b) $y\,\, = \,\,{(1 – 2{x^2})^5}$
c) $y\,\, = \,\,{\left( {\frac{{2x + 1}}{{x – 1}}} \right)^3}$

d) $y\,\, = \,\,\frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{{(x – 1)}^3}}}$
Bài tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y\,\, = \,\,\sqrt {2{x^2} – 5x + 2} $

b) $y\,\, = \,\,\sqrt[3]{{{x^3} – x + 2}}$
c) $y\,\, = \,\,\sqrt {x + \sqrt x } $

d) $y\,\, = \,\,(x – 2)\sqrt {{x^2} + 3} $
Bài tập 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y\, = \,\,{\left( {\frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^2}$ b) $y\,\, = \,\,{\cos ^4}(2x)$
c) $y\,\, = \,\,{\sin ^3}(2x + 1)$ d) $y\,\, = \,\,\sqrt {\cot 2x} $
e) $y\,\, = \,\sin \left( {{{\cos }^2}x{{\tan }^2}x} \right)$ f) $y\,\, = \,\,{\cos ^2}\left( {\frac{{\sqrt {2x} + 1}}{{\sqrt x – 1}}} \right)$
Dạng 4: Tính đạo hàm cấp cao:
Phương pháp:
1.Để tính đạo hàm cấp $2,\, 3,\, 4,\, … $ta dung công thức:    ${y^{(n)}}\,\, = \,\,{({y^{n – 1}})^/}.$
2.Để tính đạo hàm cấp $n$:
– Tính đạo hàm cấp $1,\, 2,\, 3, …$ từ đó suy ra công thức đạo hàm cấp $n$.
– Dùng phương pháp quy nạp toán học nêu chứng minh công thức đúng.
Ví dụ 1: Cho hàm số $f(x) = 3(x + 1)\sin x$. Tính $f”(\pi )$.
Giải:
$f'(x) = 3(x + 1)’\sin x + 3(x + 1)\left( {\sin x} \right)’ = 3\sin x + 3(x + 1)c{\rm{osx}}$
$f”(x) = 3c{\rm{os}}x + 3(x + 1)’c{\rm{osx + }}3(x + 1)\left( {c{\rm{osx}}} \right)’ = 3\cos x + 3\cos x – 3(x + 1){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$
$f”(\pi ) = 3\cos \pi + 3\cos \pi – 3(\pi + 1){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\pi = – 6$
Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp $n$ của hàm số: $y = \frac{1}{x}$.
Giải:
Ta có:$f'(x) = – \frac{1}{{{x^2}}}$
$f”(x) = \frac{{1.2}}{{{x^3}}}$
$f”'(x) = \frac{{1.2.3}}{{{x^4}}}$
$….$
${f^{(n)}}(x) = \frac{{{{( – 1)}^n}n!}}{{{x^{n + 1}}}}$
Suy ra: ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^{\left( n \right)}} = \frac{{{{( – 1)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}$
Thật vậy:
– Khi $n = 1$: Ta có: ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^{‘}} = \frac{{( – 1).1!}}{{{x^2}}} = – \frac{1}{{{x^2}}}$.
Vậy: Mệnh đề đúng khi $n = 1$.
– Khi $n = k > 1$, tức là ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^{\left( k \right)}} = \frac{{{{( – 1)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}$.

Ta cần chứng minh: $n = k + 1$, tức là ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^{\left( k \right) + 1}} = \frac{{{{( – 1)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}$
Ta có: ${\left({\frac{1}{x}}\right)^{\left({k + 1}\right)}}= {\left[{{{\left( {\frac{1}{x}}\right)}^k}}\right]^{‘}}= {\left[{\frac{{{{(-1)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}}\right]^{‘}} = {(-1)^k}.k!{\left[{\frac{1}{{{x^{k+1}}}}}\right]^{‘}}= \frac{{{{( – 1)}^{k + 1}}.(k + 1)!}}{{{x^{k + 2}}}}$.

Vậy: Mệnh đề đúng khi $n =k+ 1$.
Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Cho hàm số $f(x) = 3(x + 1)\cos x$.
a) Tính $f'(x),f”(x)$

b) Tính $f”(\pi ),\,\,f”\left( {\frac{\pi }{2}} \right),f”(1)$
Bài tập 2: Tính đạo hàm của hàm số theo cấp được chỉ ra:
a) $y = \cos x,\,\,y”’$

b) $y = 5{x^4} – 2{x^3} + 5{x^2} – 4x + 7,\,\,y”$
c)$y = \frac{{x – 3}}{{x + 4}},\,\,y”$

d) $y = \sqrt {2x – {x^2}} ,\,\,y”$
e) $y = x\sin x,\,\,y”$
Bài tập 3: Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng:
a) ${\left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)^{(n)}} = \,\frac{{{{( – 1)}^n}n!}}{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}$
b) ${(\sin x)^{(n)}} = \,\,\sin \left( {x + \frac{{n.\pi }}{2}} \right)$
c) ${(\cos x)^{(n)}} = \,\,\cos \left( {x + \frac{{n.\pi }}{2}} \right)$
Bài tập 4: Tính đạo hàm cấp $n$ của các hàm số sau:
a) $y\,\, = \,\,\frac{1}{{x + 2}}$ b) $y\,\, = \,\,\frac{1}{{{x^2} – 3x + 2}}$
c) $y\,\, = \,\,\frac{x}{{{x^2} – 1}}$ d) $y = \frac{{1 – x}}{{1 + x}}$
e) $y = {\sin ^2}x$ f) $y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x$
Vấn đề 2: Ứng dụng của đạo hàm:
Dạng 1: Tính giới hạn của hàm số:
Phương pháp:
– Ta sử dụng công thức tính giới hạn lượng giác sau: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin u(x)}}{{u(x)}} = 1$ (với $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} u(x) = 0$).
– Ta sử dụng công thức: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P'(x)}}{{Q'(x)}}$ (lưu ý chỉ sử dụng khi giới hạn có dạng $\frac{0}{0}$)
Ví dụ 1:
Cách 1: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \,\,\frac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \,\,\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^4} – {x^3} + {x^2} – x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)}} = \frac{5}{3}$
Cách 2: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \,\,\frac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \,\,\frac{{5{x^4}}}{{3{x^2}}} = \frac{5}{3}$
Ví dụ 2:
Cách 1: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 5x}}{{\sin 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{5\sin 5x}}{{5x}}}}{{\frac{{4\sin 4x}}{{4x}}}} = \frac{5}{4}\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5\sin 5x}}{{5x}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4\sin 4x}}{{4x}}}} = \frac{5}{4}$
Cách 2: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 5x}}{{\sin 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5c{\rm{os}}5x}}{{4c{\rm{os}}4x}} = \frac{{5\cos (5.0)}}{{4\cos (4.0)}} = \frac{5}{4}$
Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{{x^3} – {x^2} – x + 1}}{{{x^2} – 3x + 2}}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{{x^4} – 1}}{{{x^3} – 2{x^2} + 1}}$
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \,\,\frac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}}$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \,\,\frac{{{x^3} – 5{x^2} + 3x + 9}}{{{x^4} – 8{x^2} – 9}}$
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{x – 5{x^5} + 4{x^6}}}{{{{(1 – x)}^2}}}\,\,\,$

f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{{x^m} – 1}}{{{x^n} – 1}}\,\,\,$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) – 1}}{x}$

h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + {x^2} + … + {x^n} – n}}{{x – 1}}$
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \frac{{{x^4} – 16}}{{{x^3} + 2{x^2}}}$
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\frac{{\sqrt {4x + 1} – 3}}{{{x^2} – 4}}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\sqrt[3]{x} – 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} – 2}}.$
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} – 1}}{x}$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2} – 2}}{{\sqrt {x + 7} – 3}}$
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2x + 2} – \sqrt {3x + 1} }}{{x – 1}}$

f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} – 1}}{{\sqrt {{x^2} + 16} – 4}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + x} – 1}}{{\sqrt[3]{{1 + x}} – 1}}$

h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} \frac{{x + \sqrt {3 – 2x} }}{{{x^2} + 3x}}$
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 9} + \sqrt {x + 16} – 7}}{x}$
Bài tập 3: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \,\,\frac{{\sqrt {4x + 1} – 3}}{{{x^2} – 4}}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \,\,\frac{{\sqrt[3]{x} – 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} – 2}}.$
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{\sqrt {1 + x} – 1}}{{\sqrt[3]{{1 + x}} – 1}}$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 9} + \sqrt {x + 16} – 7}}{x}$
Bài tập 4: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\,\frac{{\sqrt {1 + x} – \sqrt[3]{{1 + x}}}}{x}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} – \sqrt {x + 7} }}{{{x^2} – 3x + 2}}$
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sqrt {1 + x} – \sqrt[3]{{8 – x}}}}{x}$

g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 4x} .\sqrt {1 + 6x} – 1}}{x}$
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 4x}} – 1}}{x}$

i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} – \sqrt {1 – x} }}{x}$
Bài tập 5: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \,\,\frac{{\sqrt {1 + x} – \sqrt[3]{{1 + x}}}}{x}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \,\,\frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} – \sqrt {x + 7} }}{{{x^2} – 3x + 2}}$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2\sqrt {1 + x} – \sqrt[3]{{8 – x}}}}{x}$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{\sqrt {1 + 4x} – \sqrt[3]{{1 + 6x}}}}{{{x^2}}}$

e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} – \sqrt {x + 7} }}{{2{x^2} – 5x + 2}}$

f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{\sqrt {5 – {x^3}} – \sqrt[3]{{{x^2} + 7}}}}{{{x^2} – 1}}$

g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 + 4x} .\sqrt {1 + 6x} – 1}}{x}$

h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 4x}} – 1}}{x}$
Bài tập 6: Tính các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 3x}}{{\sin 2x}}$ b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}}$

c)$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{1 – \sin x}}{{{{\left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)}^2}}}$ d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\cos x – \sin x}}{{\cos 2x}}$

e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + \sin x – \cos x}}{{1 – \sin x – \cos x}}$ f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan 2x}}{{\sin 5x}}$

g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)\tan x$ h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{6}} \frac{{\sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right)}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \cos x}}$
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến:
Phương pháp:
1.Phương trình tiếp tuyến tai điểm $M(x_0; y_0) \in C$ là: $\,\,\,\,y – {y_0}\,\, = \,\,f'({x_0})(x – {x_0})\,\,\,\,\,\,$ (*)
2.Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$, biết tiếp tuyến có hệ số góc $k$:
– Bước 1: Gọi $x_0$ là hoành độ tiếp điểm. Ta có: $f\prime ({x_0}) = k$ (Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm)
– Bước 2: Giải phương trình tìm $x_0$, rồi tìm${y_0}\,\, = \,\,f({x_0}).$
– Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm theo công thức (*).
– Bước 4: Kết luận
3.Viết phương trình tiếp tuyến $(d)$ với $(C)$, biết $(d)$ đi qua một điểm $A(x_1; y_1)$ cho trước:
– Bước 1: Gọi $(x_0; y_0)$ là tiếp điểm (với $y_0 = f(x_0)$).
– Bước 2: Phương trình tiếp tuyến (d):
$(d)$ qua $A({x_1},\,\,{y_1})\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{y_1} – {y_0}\,\, = \,\,f'({x_0})\,\,({x_1} – {x_0})\,\,\,\,(1)$
– Bước 3: Giải phương trình $(1)$ với ẩn là $x_0$, rồi tìm ${y_0} = f({x_0})$ và $f'({x_0}).$
– Bước 4: Từ đó viết phương trình tiếp tuyến tại điểm theo công thức (*).
Chú ý: Cho $(\Delta): y = ax + b$. Khi đó:
– $(d)\, / / \,(\Delta )\,\,\, \Rightarrow \,\,{k_d} = a$
– $(d)\,\, \bot \,\,(\Delta )\,\,\, \Rightarrow \,\,{k_d} = – \frac{1}{a}$
Ví dụ : Cho hàm số $(C)$: $y\,\, = \,\,f(x)\,\, = \,{x^2} – 2x$ Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$:
a) Tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$.
b) Tại điểm có tung độ $y_0=0$
c) Tại điểm $M(0;0)$.
d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = 2$.
Giải:
a) Tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$.
– ${x_0}\,\, = \,1 \Rightarrow {y_0} = – 1$
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {1; – 1} \right)$: $y + 1 = y'(1)(x – 1) \Leftrightarrow y = – 1$
b) Tại điểm có tung độ ${y_0}\,\, = \,0$
${x^2} – 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right.$
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {0;0} \right)$: $y – 0 = y'(0)(x – 0) \Leftrightarrow y = 2x$
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {2;0} \right)$: $y – 0 = y'(2)(x – 2) \Leftrightarrow y = 2x – 4$
c) Tại điểm $M(0;0)$.
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {0;0} \right)$: $y – 0 = y'(0)(x – 0) \Leftrightarrow y = 2x$
d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = 2$.
– Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Ta có: $f\prime ({x_0}) = 2 \Leftrightarrow 2{x_0} – 2 = 2 \Leftrightarrow {x_0} = 2 \Rightarrow A(2;0)$
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {2;0} \right)$: $y – 0 = y'(2)(x – 2) \Leftrightarrow y = 2x – 4$
– Vậy: Pttt: $y = 2x – 4$
Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Cho hàm số $(C)$: $y\,\, = \,\,f(x)\,\, = \,{x^2} – 2x + 3.$ Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$:
a) Tại điểm có hoành độ $x_0= 1$.
b) Tại điểm có tung độ $y_0=3$
c) Tại điểm $M(0;3)$.
d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = 2$.
e) Song song với đường thẳng $4x – 2y + 5 = 0$.
f) Vuông góc với đường thẳng $x + 4y = 0$.
g) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp thành bởi các trục tọa độ.
h) Tiếp tuyến đi qua điểm $A(2;1)$.
Bài tập 2: Cho hàm số $(C)$: $y\,\, = \,{x^3} – 3{x^2}.$ Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$:
a) Tại điểm có hoành độ $x_0=0$.
b) Tại điểm có tung độ $y_0=0$.
c) Tại giao điểm của $(C)$ với trục hoành.
d) Tại giao điểm của $(C)$ với trục tung.
e) Tại điểm $I(1, –2)$.
f) Biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = -3$.
g) Song song với đường thẳng $9x – y + 5 = 0$.
h) Vuông góc với đường thẳng $x – 3y = 0$.
l) Đi qua điểm $A(0;0)$.
m) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị $(C)$ không đi qua $I$.
Bài tập 3: Cho hàm số $y = f(x) = \frac{{3x + 1}}{{1 – x}}$ $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$:
a) Tại điểm có hoành độ $x_0=2$.
b) Tại điểm có tung độ $y_0=2$.
c) Tại giao điểm của $(C)$ với trục hoành.
d) Tại giao điểm của $(C)$ với trục tung.
e) Tại điểm $A(2; –7)$.
f) Biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = \,\frac{1}{2}$.
g) Song song với đường thẳng d: $y = \frac{1}{2}x + 100$.
h) Vuông góc với đường thẳng $\Delta$: $2x + 2y – 5 = 0$.
Bài tập 4: Cho hàm số $y = f(x) = \frac{{2 – x + {x^2}}}{{x – 1}}$ $(C)$.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm M(2; 4).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = 1$.
Bài tập 5: Cho hàm số $(C)$: $y\,\, = \,\,\,\sqrt {1 – x – {x^2}} .$ Tìm phương trình tiếp tuyến với $(C)$:
a) Tại điểm có hoành độ $x_0 =\frac{1}{2}$
b) Song song với đường thẳng $d: x + 2y = 0$.
Vấn đề 3: Các bài toán khác
Dạng 1: Giải phương trình:
Phương pháp:
– Công thức tính đạo hàm.
– Giải phương trình đại số, phương trình lượng giác.
Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Giải phương trình $f'(x) = 0$ với:
a) $f(x) = 3\cos x – 4\sin x + 5x$ b)$f(x) = \cos x + \sqrt 3 {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 2x – 1$
c) $f(x) = {\sin ^2}x + 2\cos x$ d) $f(x) = \sin x – \frac{{\cos 4x}}{4} – \frac{{\cos 6x}}{6}$
e) $f(x) = 1 – \sin (\pi + x) + 2\cos \frac{{3\pi + x}}{2}$ f) $f(x) = \sin 3x – \sqrt 3 \cos 3x + 3(\cos x – \sqrt 3 \sin x)$
Bài tập 2: Giải phương trình $f'(x) = g(x)$ với:
a) $\left\{ \begin{array}{l}
f(x) = {\sin ^4}3x\,\,\\
g(x) = \sin 6x
\end{array} \right.$

b) $\left\{ \begin{array}{l}
f(x) = {\sin ^3}2x\,\,\\
g(x) = 4\cos 2x – 5\sin 4x
\end{array} \right.$

c) $\left\{ \begin{array}{l}
f(x) = 2{x^2}{\cos ^2}\frac{x}{2}\\
g(x) = x – {x^2}\sin x
\end{array} \right.$

d) $\left\{ \begin{array}{l}
f(x) = 4x{\cos ^2}\frac{x}{2}\\
g(x) = 8\cos \frac{x}{2} – 3 – 2x\sin x
\end{array} \right.$
Dạng 2: Giải bất phương trinh:
Phương pháp:
– Công thức tính đạo hàm.
– Giải bất phương trình đại số.
Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Giải bất phương trình $f'(x) > g'(x)$ với:
a) $f(x) = {x^3} + x – \sqrt 2 ,\,\,g(x) = 3{x^2} + x + \sqrt 2 $
b) $f(x) = 2{x^3} – {x^2} + \sqrt 3 ,\,\,g(x) = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} – \sqrt 3 $
c) $f(x) = \frac{2}{x},\,\,g(x) = x – {x^3}$
Dạng 3: Bài toán chứa tham số:
Phương pháp:
– Công thức tính đạo hàm.
– Giải bất phương trình đại số.
Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Xác định m để bất phương trình luôn có nghiệm với mọi $x \in \mathbb{R}$:
a) $f'(x) > 0\,\,\text{vơí}\,\,f(x) = \frac{{m{x^3}}}{3} – 3{x^2} + mx – 5$
b) $f'(x) < 0\,\,\text{với}\,\,f(x) = \frac{{m{x^3}}}{3} – \frac{{m{x^2}}}{2} + (m + 1)x – 15$