Chuyên đề: Các bài tập về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Chuyên đề: 
CÁC BÀI TẬP VỀ TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
I) LÝ THUYẾT: 
1. Cho biểu thức f(x,y). Ta nói M là GTLN của biểu thức f(x,y), ký hiệu maxf = M , nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:
	a. Với mọi x, y để f(x,y) xác định thì f(x,y) .
b. Tồn tại sao cho f() .
2. Cho biểu thức f(x,y). Ta nói m là GTNN của biểu thức f(x,y), ký hiệu minf = m , nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:
	a. Với mọi x, y để f(x,y) xác định thì f(x,y) .
b. Tồn tại sao cho f() .
II BÀI TẬP:
Bài 1: Cho biểu thức A = a3 +b3 + c3+a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b), với a+b+c = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Giải: Ta có : A = a3 +b3 + c3+a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
 = a2(a+b+c) + b2(a+b+c)+c2(a+b+c)
 = (a+b+c)(a2+b2+c2)
 Với a+b+c = 1 thì A = a2+b2+c2
 Ta c ó a2+b2 2ab
 a2+ c2 2ac
 b2 + c2 2bc
 2(a2 + b2 +c2) 2(ab + bc + ac) (1)
Cộng thêm vào hai vế của (1) với a2 + b2 + c2
 3(a2 + b2 + c2) (a+b+c)2 3A 1A. Dấu “ = ” xảy ra khi a= b =c Mà a+b+c = 1 nên a =b=c = 
Do đó A đạt giá trị nhỏ nhất là khi a =b=c = 
Bµi 2: Cho x+y = 2 .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x2+y2
Gi¶i:
C¸ch 1: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski : (ac+bd)2 (a2 + b2)(c2+d2) dÊu = x¶y ra (*)
Chän a = x ; c=1 ; b=y d =1
Ta cã : (x.1+y.1)2 (x2+y2)(1+1)
 (x+y)2 (x2+y2)(1+1) 
 4 (x2+y2).2
 2 (x2+y2)
VËy B 2 
DÊu “= ’’xÈy ra khi x=y = 1
VËy Min B = 2 khi x = y =1 
C¸ch 2: 
Ta cã : x+y =2 y =2- x 
Do ®ã: B = x2 + (2-x)2 = x2 +x2- 4x + 4
 = 2x2 – 4x + 4
 = 2(x2 – 2x+1 +1)
 = 2(x-1)2 +2 2 
VËy Min B = 2 khi x-1 =0 hay x= 1 ; y =1
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x2 + 2y2 – 2xy – 4y + 5
Giải:
 Ta có : C = (x2 - 2xy + y2) + ( y2 – 4y+4)+1 
 = (x –y)2 + (y -2)2 + 1
 Vì (x – y)2 0 ; (y-2)2 0 
 Do vậy: C 1 với mọi x;y
 Dấu “ = ” Xảy ra khi x-y = 0 và y-2 =0 x=y =2
	Vậy: Min C = 1 khi x = y =2
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức D = 2x2 – 2xy +5y2 + 5
Giải: Ta có : D = x2 – 4xy + 4y2 + x2 +2xy +y2 +5
 D = (x - 2y)2 + (x+y)2 + 5
 Ta thấy : (x-2y)2 0 ; (x+y)2 0 
 Nên: D 5 
 Dấu “ = ” Xảy ra khi : 
 x – 2y = 0
 x+ y = 0 
 x = y = 0
 Vậy Min D = 5 khi x = y =0
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 5x2 +8xy + 5y2 – 2x + 2y
Giải: Ta có : E = (4x2 + 8xy +4y2 )+(x2 - 2x +1) + (y2 +2y +1) – 2 
 E = (2x +2y)2 +(x- 1)2 +( y+1)2 - 2
 Do đó E - 2
 Dấu “ = ” xảy ra khi 
 Vậy Min B = -2 khi x =1 và y =-1
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = a3 + b3 + ab (với a + b = 1)
 Giải: Ta có : F = (a+b)(a2 –ab+b2) +ab
 Thay a+ b =1 vào F ta được
 F = a2 – ab +b2 + ab
 F = a2 +b2 
 F = (a+b)2 – 2ab
 F = 1 – 2ab
 Do a+b =1 a = 1-b thay vào F ta có : F = 1- 2(1-b)b
 F = 1 -2b+2b2 
 F = 2(b2 – b+) + 
 F = 2(b -)2 + Với mọi b
 Dấu “ = ” xảy ra khi : b - = 0 b = và a =
 Vậy Min F = Khi a =b = 
Bài 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : G (x) = x + (x > 0)
Giải: Ta có: G = x + 
 = = = 1+
 V ì x > 0 nên G 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của G là 1 khi : = 0 (2x -1)2 = 0 x = 
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: H = x(x+1)(x+2)(x+3)
Giải: Ta có: H = x(x+3)(x+1)(x+2)
 H = (x2+ 3x)(x2 + 3x +2)
 H = (x2+3x)2 + 2(x2+3x)
 H = (x2+3x)2 + 2(x2+3x)+1 – 1
 H = (x2 + 3x +1)2 – 1 
 H - 1, dấu ‘ = ’ xảy ra khi x2 + 3x +1 = 0 x = 
Vậy giá trị nhỏ nhất của H là -1 khi x =
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : I(x) = 
Giải : Ta có : I(x) == 1-Do vậy, I(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi biểu thức đạt giá trị lớn nhất nghĩa là x2 + 1 đạt giá trị nhỏ nhất .
 Ta có: x2 + 1 1 với mọi x
Min (x2 + 1) = 1 tại x = 0
Min I(x) = 1- 2 = -1
 Vậy Min I(x) = -1 tại x = 0
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : J = 3( x2 + y2 + z2 + t2) – 2(xy + yz + zt + tx) – ( x + y + z + t ) + 10
Giải : Ta có :
 J = ( x2 – 2xy + y2 ) + ( y2 – 2yz + z2 ) + (z2 – 2zt + t2 ) + ( t2 – 2tx + x2 ) + ( x2 – x +) + ( y2 – y +) + ( z2 – z + ) + ( t2 – t + ) + 9.
 = ( x – y)2 + ( y – z )2 + ( z – t)2 + (t – x)2 + (x –)2 + (y –)2 + (z –)2 + (t –)2 + 9 
 Do vậy J 9 Với mọi x ; y ; z ; t
 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = t = 
 Vậy giá trị nhỏ nhất của J là 9 khi x = y = z = t = . 
Bài 11: Cho biểu thức: K = x2 + y2 + 2z2 + t2, với x ; y ; z ; t là các số nguyên không âm . Tìm giá trị nhỏ nhất của K và các giá trị tương ứng của x ; y ; z và t , biết rằng :
 x2 – y2 + t2 = 21
 x2 + 3y2 + 4z2 = 101 
Giải: Theo giả thiết , ta có :
 x2 – y2 + t2 = 21
 x2 + 3y2 + 4z2 = 101 
x2 – y2 + t2 + x2 + 3y2 + 4z2 = 122
2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122
2K + t2 = 122
2K = 122 - t2 Do đó : 2K 122 K 61
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi t = 0. Vậy K đạt giá trị nhỏ nhất là 61 tại t = 0 
 Ta có : 
 x2 – y2 + t2 = 21 (1)
 x2 + 3y2 + 4z2 = 101 (2)
 Vì x ; y N nên từ (1) => x > y 0
x + y x – y > 0 . Do đó :
(x + y)( x – y) = 21 . 1= 7 . 3
 => 
 hoặc 
 Từ (2) => 3y2 101 => y2 33 => 0 y 5
 Ta chọn x = 5 ; y = 2
 (2) => z = 4
 Vậy Min K =61 tại x = 5 ; y = 2 ; z = 4 ; t = 0 
Bµi 12: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = 3xy – x2 – y2 BiÕt x; y lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 5x+2y = 10
Gi¶i: Tõ : 5x +2y = 10 y = 
Thay y vµo biÓu thøc A ta cã: 
 	A = 3x. - x2 – ()2 
 A = 
 A = (-59x2 +160x-100)
 A = .59 ( -x2 +
 A = .59 
 A = 
 A = 
VËy Max A = Khi x = vµ y = = 
Bµi 13: Cho biÓu thøc B = - a2 – b2 +ab +2a+2b, B ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt lµ bao nhiªu vµ khi nµo?
Gi¶i: Ta cã B = - a2 – b2 +ab +2a+2b
 2B = -2a2 – 2b2 +2ab +4a+4b
 = - (a2 - 2ab +b2) –( a2- 4a +4) – (b2 -4b +4) + 8
 = 8 – (a-b)2 – (a-2)2 – (b -2 )2 
 2B 8 B 4 
DÊu ‘ = ’ x¶y ra khi a = b =2
 VËy B ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 4 khi a = b =2
Bµi 14: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc C = - 5y2 – 5x2 + 8x – 6y – 1 
Gi¶i: C = - (5x2 – 8x ) – (5y2 + 6y) – 1
 C = - 5( x2 - - 5( y2 +2. + 4
 C = 4 - 5 
 Do ®ã ta cã : C 4 
 DÊu ‘ = ’ x¶y ra khi = 0 vµ y =
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña C lµ 4 t¹i vµ y =
Bµi 15: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc D = - 5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y -1 
Gi¶i: Ta cã D = - 5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y -1
 = - ( x2 +2xy + y2) – (4x2 - 14x + ) – (y2 - 10 y +25) + +25 – 1
 = 
D 
 DÊu ‘ = ’ x¶y ra khi vµ chØ khi
 ( kh«ng tháa m·n )
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña D kh«ng tån t¹i
Bµi 16: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè y = 
Gi¶i: Sö dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski : 
 (ac+bd)2 (a2 + b2)(c2+d2) dÊu = x¶y ra (*)
Chän: ; c =1
 ; d =1
 §KX§ : 2x4 
 ta cã y2 = ( )2 
 y2 4 2
V× y > 0 nªn ta cã 0 < y 2
DÊu ‘ = ’ x¶y ra khi x -2 = 4 –x x =3 ( tháa m·n §KX§)
VËy : Gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè lµ y lµ 2 t¹i x = 3
Bài 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 2x2 – 8x +1 (với x là số thực bất kỳ)
Giải: Ta có A = 2x2 – 8x +1 = 2( x- 2 )2 – 7 Ta có với mọi x thì (x- 2 )2 0 Nên ta có 2( x- 2 )2 – 7 -7 . Vậy Ax đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7 khi x=2 
Bài 18) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = - 5x2 – 4x + 1 (với x là số thực bất kỳ)
Giải: Ta có Mx = - 5x2 – 4x + 1 = -5 ( x + )2 + 
Với mọi giá trị của x ta luôn có : -5 ( x + )2 0 . Vậy Mx (dấu = xảy ra khi x = -. Ta có GTLN của M = với x = -.
Bài 19) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = ( Với x là các số thực dương)
Giải: Ta có Ax = = với mọi x > 0 thì . Vậy GTNN của Ax = với x= 4.
Bài 20) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = (với x thuộc tập hợp số thực).
Giải: Ta có Mx= = 3 + . Vì nên ta có: 
 M = 3 + 3 + 0,5 = 3,5 . Vậy GTLN Mx = 3,5 với (x+1)2 = 0 hay x= -1 
Bài 21) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Fx,y = với x, y là các số thực.
Giải: Ta có Fx,y = = vì y4 +1 0 với mọi giá trị của x nên ta chia cả tử và mẫu cho y4 +1 ta được : Fx,y = vì x2 0 với mọi x nên x2 + 2 2 với mọi x ,và do đó ta có Fx,y = 
Vậy Fx,y dật GTLN = với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý. 
Bài 22) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = với x > 0.
Giải: Ta có A = = 8x + . Ta thấy 8x và là hai đại lượng lấy giá trị dương áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương là 8x và ta có:
 8x + dấu = xẩy ra khi 8x = = > x = .
 Vậy GTNN Ax = 8 với x = .
Bài 23) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 16x3 - x6 với x thuộc tập hợp các số thực dương .
Giải: Trước hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng được bất đẳng thức Côsi ta có 
B = 16x3 - x6 = x3(16- x3) . Ta có x3 > 0 , còn 16 – x3 > 0 khi 16 > x3 hay x < (*)
ta thấy x3 và 16 – x3 là hai đại lượng dương, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x3 và 16- x3 ta có 2 suy ra x3( 16 – x3) 64 dấu = xẩy ra khi x3 = 16- x3 => x = 2 (Thoả mãn *). GTLN của Bx = 64 , với x=2.
Bài 24) Với giá trị nào của x thì biểu thức P = đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải: Ta có : Px = = 4x2 + 8x+ 20 + 
Vì x2 + 2x +5 = (x+1)2 +4 > 0 (*) nên Px luôn xác định với mọi x ta đặt y = x2 + 2x + + 5, ta có Px = 4y + với y > 0 , ta thấy 4y và là hai đại lượng luôn dương, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 4y và ta có :
 4y + . Dấu = xẩy ra khi 4y = => y = 8 hoặc y = -8
từ đó tính được x= -3 hoặc x=1. Vậy với x=-3 hoặc x=1 thì GTNN của Px = 64.
Bài 25) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = (x2- 2x + 2)(4x- 2x2+ 2) với x thuộc tập hợp các số thực. 
Giải: Đặt x2- 2x +2 = y ta có 4x – 2x2 + 2 = -y +6 . Vậy Q = y ( 6- 2y). 
Ta có 2Q = 2y(6-2y) , ta thấy x2- 2x+2 = (x- 1)2 +1 >0 => y >0 => 6-2y > 0 khi y<3
Vậy 2y và 6-2y là hai số dương, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 2y và 6-2y ta có : 2y + 6-2y => 3 => 9 2 Qx dấu = xẩy ra khi 
2y = 6- 2y => y = 1,5 thay vào ta có x2- 2x +2 = 1,5 => x = 1+ hoặc x= 1 -.Vậy GTLN của Qx = 4,5 với x = 1+ hoặc x= 1 -.
Bài 26) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H = (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) với x là các số thực tuỳ ý .
Giải: Ta có : # 8+ x2 + x =( x+ )2 + >0 với mọi giá trị của x
# 20 – x2 –x > 0 khi -5 < x < 4 .
Như vậy H = (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) >0 khi -5 < x <4 . Từ đó suy ra Hx có giá trị lớn nhất thì GTLN đó chỉ đạt ở trong khoảng xác định (-5 ; 4). 
Với -5 <x <4 ta có 8+ x2 + x và 20 – x2 –x luôn dương, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai đại lượng dương 8+ x2 + x và 20 – x2 –x ta có :
 (8+ x2 + x )+( 20 – x2 –x) 
14 => 196 (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) .Dấu = xẩy ra khi 8+ x2 + x =20 – x2 –x => x= 2 hoặc x= -3.
Hay H 196 .Vậy GTLN của H = 196 ,với x=2 hoặc x = -3.
Bài 27) Tìm giá trị của m, p sao cho A = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .
Giải: Ta có A = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 = ( m – 2p)2 + ( p – 1)2+27 + 10(m – 2p)
Đặt X = m-2p ta có A = X2 + 10 X +( p-1)2 + 27 = (X+5) 2 + (p-1)2+ 2 .
Ta thấy (X+5) 2 0 ; (p-1)2 0 với mọi m, p do đó A đạt GTNN khi X+ 5=0 và p-1=0.
Giải hệ điều kiện trên ta được p= 1 , m= -3 .Vậy GTNN của A = 2 với p= 1, m=-3 
Bài 28) Tìm giá trị của x, y sao cho F = x2 + 26y2 – 10xy +14x – 76y + 59. đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Giải: Ta có F = x2 + 26y2 – 10xy +14x – 76y + 59 = ( x-5y)2+ (y-3)2 +14(x-5y)+50.
Đặt ẩn phụ : Z = x-5y ta có F = (Z+7)2 + (y- 3)2 +1 1. 
Dấu = xẩy ra khi Z+7=0 và y-3 = 0 giả hệ điều kiện trên ta được x=8 y= 3 .Vậy GTNN của F = 1 với x=8, y=3 .
Bài 29) Tìm giá trị của x, y,z sao cho P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz – 24yz +36xy +5. Đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Giải: Ta có P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz – 24yz +36xy +5 = ( 9x2+ 36xy + 36y2) + (18y2- 24yz +8z2) + (8x2 – 16xz + 8z2) + 2x2 + 5 hay
	P = 9(x+2y)2 + 2(3y – 2z)2 + 8(x- z )2 + 2x2 + 5 .Ta thấy (x+2y)2 0 ; 
(3y – 2z)2 0; (x- z )2 0; 2x2 0 với mọi giá trị của x, y, z .
Vậy GTNN của P = 5 đạt được khi x+2y = 0 và 3y- 2z =0 và x- z =0 và x=0. Giải hệ phương trình trên ta được x= y =z = 0 .
Bài 30) Tìm các giá trị của x, y, z để biểu thức P = x2 + y2 +z2 sau đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết : x+y+z = 1995.
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho bộ ba số : 1, 1, 1 và x, y, z ta có :
 (x.1 + y.1 + z.1)2 (1 + 1+ 1)(x2 + y2 + z2)
Hay : ( x + y +z )2 3.(x2 + y2 + z2 ) . Từ đó ta có :
 P = x2 + y2 + z2 ( Vì theo giả thiết x+ y +z =1995).
Vậy GTNN của P = dấu = xẩy ra khi x =y =z kết hợp với giả thiết x + y +z = 1995 .Ta có x= y =z =665.
Bài 31) Cho biểu thức Q = . Trong đó x,y,z là các đại lượng thoả mãn điều kiện 
 x2 + y2 + z2 = 169.Tìm GTLN của Q.
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho bộ ba số : 2, 4, và x, y, z ta có :
 (2x + 4y + z)2 { 22 + 42 + ()2}( x2 + y2 + z2) .
Hay Q2 { 22 + 42 + ()2}( x2 + y2 + z2) vì x2 + y2 + z2 = 169 nên Q2 25.169.
Vậy GTLN của Q= 65 , dấu = xẩy ra khi và x2 + y2 + z2 = 169 từ đó tìm được x =. y= z =