Tổng hợp lý thuyết bài tập tìm giá trị lớn nhất (max), giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số ó đáp án chi tiết toán lớp 12

BÀI TẬP TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ  CÓ ĐÁP ÁN

Dưới đây là bài tập tìm GTLN – GTNN của hàm số có đáp án

Bài tập 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số  $y={{x}^{3}}-3x+5$ trên đoạn [0;2] là

A. 0. B. 3. C. 5. D. 7.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Xét hàm số $f(x)={{x}^{3}}-3x+5$ trên [0;2], có $f'(x)=3{{x}^{2}}-3$

Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 0\le x\le 2 \\  {} 3{{x}^{2}}-3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=1$

Tính $f(0)=5;f(1)=3;f(2)=7.$ Vậy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(1)=3$.

Bài tập 2: Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1$ trên đoạn [0;2] là

A. 64. B. 1. C. 0. D. 9.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Xét hàm số $f(x)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1$ trên [0;2], có $f'(x)=4{{x}^{3}}-4x$

Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 0\le x\le 2 \\  {} 4{{x}^{3}}-4x=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=0 \\  {} x=1 \\ \end{array} \right.$

Tính $f(0)=1;f(1)=0;f(2)=9.$ Vậy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\max }}\,f(x)=f(2)=9.$

Bài tập 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+3}{x-1}$ trên đoạn [2;4] là

A. 7. B. 6. C. $\frac{19}{3}$  D. $\frac{13}{3}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Cần nhớ công thức đạo hàm:  ${{\left( \frac{u}{v} \right)}^{‘}}=\frac{u’v-uv’}{{{v}^{2}}}$

Cách 1: Xét hàm số $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+3}{x-1}$ trên [2;4], có $f'(x)=\frac{{{x}^{2}}-2x-3}{{{(x-1)}^{2}}}$

Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 2\le x\le 4 \\  {} {{x}^{2}}-2x-3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=3$

Tính $f(2)=7;f(3)=6;f(4)=\frac{19}{3}.$ Vậy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 2;4 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(3)=6$.

Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7)

Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE 7

Bước 2: Nhập $f(X)=\frac{{{X}^{2}}+3}{X-1}$

Sau đó ấn phím = (nếu có $g(X)$ thì ấn tiếp phím =) sau đó nhập $\left\{ \begin{array}  {} Star=2 \\  {} End=4 \\  {} Step=0.2 \\ \end{array} \right.$

(Chú ý: Thường ta chọn $Step=\frac{End-Start}{10}$)

Bước 3: Tra bảng nhận được và tìm GTNN:

Dựa vào bảng giá trị ở trên, ta thấy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(3)=6.$

Bài tập 4: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số  $f(x)=\frac{3x-1}{x-3}$ trên đoạn [0;2]. Giá trị của 3M + m bằng

A. 0. B. – 4. C. – 2.  D. 1.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Xét hàm số $f(x)=\frac{3x-1}{x-3}$trên [0;2] có $f'(x)=-\frac{8}{{{(x-3)}^{2}}}<0$

Suy ra $f(x)$ là hàm số nghịch biến trên (0;2) $\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 0;2 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(2)=-5 \\  {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 0;2 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,f(x)=f(0)=\frac{1}{3} \\ \end{array} \right.$

Vậy $M=\frac{1}{3}\Rightarrow 3M=3;m=-5\to 3M+m=-2$

Bài tập 5: Giá trị lớn nhất của hàm số  $y=\sqrt{3x-2x-{{x}^{2}}}$ là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Cần nhớ công thức đạo hàm: ${{\left( \sqrt{u} \right)}^{‘}}=\frac{u’}{2\sqrt{u}}$

Điều kiện xác định: $3-2x-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -3\le x\le 1$

Xét hàm số $f(x)=\sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}$ trên [-3;1], có $f'(x)=\frac{-2-2x}{2\sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}}=-\frac{x+1}{\sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}};$

Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -3<x<1 \\  {} x+1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=-1$

Tính $f(-3)=0;f(-1)=2;f(1)=0.$ Vậy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;1]}{\mathop{max}}\,f(x)=f(-1)=2.$

Bài tập 6: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x\sqrt{1-{{x}^{2}}}.$ Giá trị của

M – 2m bằng

A. 0. B. $-\frac{1}{2}.$  C. 1. D. $\frac{3}{2}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Điều kiện xác định:  $1-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -1\le x\le 1$

Xét hàm số $f(x)=x\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ trên [-1;1], có $f'(x)=\sqrt{1-{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=\frac{1-2{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$

Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -1<x<1 \\  {} 1-2{{x}^{2}}=0 \\

\end{array} \right.\Leftrightarrow x=\left\{ -\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right\}$

Tính $f(-1)=f(1)=0;f\left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=-\frac{1}{2};f\left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=\frac{1}{2}$

Vậy $\left\{ \begin{array}  {} m=\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\min }}\,f(x)=-\frac{1}{2} \\  {} M=\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\max }}\,f(x)=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.\to M-2m=\frac{1}{2}-2.\left( -\frac{1}{2} \right)=\frac{3}{2}$

Bài tập 7: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}$. Giá trị của $M-2{{m}^{2}}$ bằng

A. – 2. B. 2. C. 0. D. – 1.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}  {} 1-x\ge 0 \\  {} x+1\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -1\le x\le 1$

Xét hàm số $f(x)=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}$  trên [-1;1], có $f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}+\frac{1}{2\sqrt{1+x}};$

Phương trình  $f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -1<x<1 \\  {} \sqrt{1-x}=\sqrt{1-x} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=0$. Tính $f(-1)=f(1)=\sqrt{2};f(0)=2$

Vậy $\left\{ \begin{array}  {} m=\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\min }}\,f(x)=\sqrt{2} \\  {} M=\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\max }}\,f(x)=2 \\ \end{array} \right.\to M-2{{m}^{2}}=2-2.2=-2$

Bài tập 8: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}-2\sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}$ là

A. 0. B. $-\sqrt{2}.$  C. $\sqrt{2}.$  D. $\frac{9}{4}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}  {} x-1\ge 0 \\  {} 3-x\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 1\le x\le 3$

Đặt $t=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x},$ ta có $t’=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{3-x}};\,t’=0\Leftrightarrow x=2$

Tính  $t(1)=t(3)=\sqrt{2};t(2)=2\xrightarrow{{}}\sqrt{2}\le t\le 2$

Khi đó ${{t}^{2}}=2+2\sqrt{(x-1)(3-x)}=2+2\sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}\Leftrightarrow 2\sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}={{t}^{2}}-2$

Do đó $y=f(t)=t-({{t}^{2}}-2)=-{{t}^{2}}+t+2$

Xét $f(t)=-{{t}^{2}}+t+2$ trên $\left[ \sqrt{2};2 \right]\xrightarrow{{}}\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }\sqrt{2};2]}{\mathop{\max }}\,f(t)=\sqrt{2}.$ Vậy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;3]}{\mathop{\max }}\,y=\sqrt{2}$

Bài tập 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số  $y=2{{\cos }^{3}}x-\frac{9}{2}{{\cos }^{2}}x+3\cos x+\frac{1}{2}$ là

A. – 9. B. 1. C. $-\frac{3}{2}.$  D. $\frac{1}{2}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Đặt $t=\cos x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1],$ khi đó $y=f(t)=2{{t}^{3}}-\frac{9}{2}{{t}^{2}}+3t+\frac{1}{2}$

Xét hàm số $f(t)=2{{t}^{3}}-\frac{9}{2}{{t}^{2}}+3t+\frac{1}{2}$ trên [-1;1], có $f'(t)=8{{t}^{2}}-9t+3>0,\forall t$

Suy ra $f(t)$ là hàm số đồng biến trên $(-1;1)\Rightarrow \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\min }}\,f(t)=f(-1)=1.$

Bài tập 10: Giá trị lớn nhất của hàm số $y={{\sin }^{3}}x+\cos 2x+\sin x+3$ là

A. 0. B. 5. C. 4. D. $\frac{112}{27}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Cần nhớ công thức lượng giác: $\cos 2x=1-2{{\sin }^{2}}x$

Ta có $y={{\sin }^{3}}x+1-2{{\sin }^{2}}x+\sin x+3={{\sin }^{3}}x-2{{\sin }^{2}}x+\sin x+4$

Đặt $t=\sin x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1],$ khi đó $y=f(t)={{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+t+4$

Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+t+4$ trên [-1;1], có $f'(t)=3{{t}^{2}}-4t+1;$

Phương trình $f'(t)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -1\le t\le 1 \\  {} 3{{t}^{2}}-4t+1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=1 \\  {} t=\frac{1}{3} \\ \end{array} \right.$

Tính $f(-1)=0;f\left( \frac{1}{3} \right)=\frac{112}{27};f(1)=4.$ Vậy ${{y}_{\max }}=\frac{112}{27}.$

Bài tập 11: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $f(x)=\left| -{{x}^{2}}-4x+5 \right|$ trên đoạn [-6;6]

A. 110. B. 9. C. 55. D. 7.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Xét hàm số $g(x)=-{{x}^{2}}-4x+5$ liên tục trên đoạn [-6;6]

Đạo hàm $g'(x)=-2x-4\to g'(x)=0\Leftrightarrow x=-2\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-6;6]$

Lại có $g(x)=0\Leftrightarrow -{{x}^{2}}-4x+5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=1\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-6;6] \\  {} x=-5\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-6;6] \\ \end{array} \right.$

Tính $\left\{ \begin{array}  {} g(-6)=-7 \\  {} g(-2)=9 \\  {} g(6)=-55 \\  {} g(1)=g(-5)=0 \\ \end{array} \right.\to \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-6;6]}{\mathop{\max }}\,f(x)=\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-6;6]}{\mathop{\max }}\,\left\{ \left| g(-6) \right|;\left| g(-2) \right|;\left| g(6) \right|;\left| g(1) \right|;\left| g(-5) \right| \right\}=55.$

Nhận xét: bài này rất dễ sai lầm vì không để ý hàm trị tuyệt đối không âm.

Bài tập 12: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $f(x)=\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|-x$ trên đoạn [-4;4]

A. 2. B. 17. C. 34. D. 68.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn [-4;4]

•    Nếu $x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]$ thì ${{x}^{2}}-3x+2\le 0$ nên suy ra $f(x)=-{{x}^{2}}+2x-2$

Đạo hàm $f'(x)=-2x+2\to f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2].$ Ta có $\left\{ \begin{array}  {} f(1)=-1 \\  {} f(2)=-2 \\ \end{array} \right.$

•    Nếu $x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-4;1]\cup \text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4]$ thì ${{x}^{2}}-3x+2\ge 0$ nên suy ra $f(x)={{x}^{2}}-4x+2$

Đạo hàm $f'(x)=2x-4\to f'(x)=0\Leftrightarrow x=2\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-4;1]\cup \text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4].$ Ta có $\left\{ \begin{array}  {} f(-4)=34 \\  {} f(1)=-1 \\  {} f(2)=-2 \\  {} f(4)=2 \\ \end{array} \right.$

So sánh hai trường hợp, ta được $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-4;4]}{\mathop{\max }}\,f(x)=f(-4)=34.$

Bài tập 13: Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị trên đoạn [-2;4] như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $y=\left| f(x) \right|$ trên đoạn [-2;4]?

A. 2. B. 3. C. 1. D. $\left| f(0) \right|.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ trên đoạn [-2;4]

Ta suy ra đồ thị hàm số $\left| f(x) \right|$ trên [-2;4] như hình vẽ.

Do đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-2;4]}{\mathop{\max }}\,\left| f(x) \right|=3$ tại $x=-1$

 

Bài tập 14: Cho $(P):y={{x}^{2}}$ và $A\left( -2;\frac{1}{2} \right)$. Gọi M là điểm bất kì thuộc (P). Khoảng cách MA bé nhất là

A. $\frac{5}{4}.$  B. $\frac{2\sqrt{3}}{3}.$  C. $\frac{\sqrt{2}}{2}.$  D. $\frac{\sqrt{5}}{2}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Vì M thuộc parabol (P) $\Rightarrow M(m;{{m}^{2}})\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( m+2;{{m}^{2}}-\frac{1}{2} \right)$

Suy ra $M{{A}^{2}}={{\left| \overline{AM} \right|}^{2}}={{(m+2)}^{2}}+{{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}={{m}^{4}}+4m+\frac{17}{4}$

Xét hàm số $f(m)={{m}^{4}}+4m+\frac{17}{4},$ có $f'(m)=4{{m}^{3}}+4;f'(m)=0\Leftrightarrow m=-1$

Do đó $\min f(m)=f(-1)=1-4+\frac{17}{4}=\frac{5}{4}\to M{{A}_{\min }}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.$

Bài tập 15: Cho hai hàm số $y=f(x),y=g(x)$ liên tục và có đạo hàm trên đoạn [-1;1] thỏa mãn $f(x)>0,g(x)>0,\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]$ và $f'(x)\ge g'(x)\ge 0,\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1].$ Gọi m là giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;1] của hàm số $h(x)=2f(x).g(x)-{{g}^{2}}(x).$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $m=h(-1).$  B. $m=h(0).$  C. $m=\frac{h(-1)+h(1)}{2}.$  D. $m=h(1).$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Ta có $h'(x)=2.\left[ f'(x).g(x)+f(x).g'(x) \right]-2g'(x).g(x);\,\,\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]$

Suy ra $h(x)=2.g(x).\left[ f'(x)-g'(x) \right]+2f(x).g'(x)\ge 0$ vì $f'(x)-g'(x)\ge 0$

Do đó $h(x)$ là hàm số đồng biến trên [-1;1] $\Rightarrow \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\min }}\,h(x)=h(-1).$