Toán lớp 9 – Hàm số bậc nhất và các bài toán liên quan

Chia sẻ nếu thấy tài liệu này có ích!

 

CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

I – Kiến thức cần nhớ

            1, Định nghĩa

            – Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức $y=ax+b$ trong đó $a;b$ là các số cho trước và $a\ne 0.$

            – Đặc biệt, khi $b=0$ thì hàm số có dạng $y=ax.$

            2, Tính chất

            – Hàm số bậc nhất $y=ax+b\,\,\left( a\ne 0 \right)$ xác định với mọi giá trị của $x\in \mathbb{R}$.

            – Hàm số đồng biến khi $a>0$

            – Hàm số nghịch biến khi $a<0$.

            3, Đồ thị

            – Đồ thị của hàm số $y=ax+b$ $\left( a\ne 0 \right)$ là một đường thẳng:

                                    + Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $b;$

                                    + Song song với đường thẳng $y=ax$ khi $b\ne 0$

                                    + Trùng với đường thẳng $y=ax$ khi $b=0$

                        – Chú ý: Đồ thị hàm số $y=ax+b\,\,\left( a\ne 0 \right)$ còn được gọi là đường thẳng $y=ax+b$; $a$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng ; $b$ được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.

            4, Góc tạo bởi đồ thị hàm số bậc nhất và trục $Ox$

            – Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b\,\,\left( a\ne 0 \right)$ và trục $Ox$.

                        + Nếu $\alpha <{{90}^{0}}$ thì $a>0$.

                        + Nếu $\alpha >{{90}^{0}}$ thì $a<0$.

            5, Vị trí tương đôi của hai đường thẳng

            Cho hai đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right):y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}}$ và $\left( {{d}_{2}} \right):y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}},$ trong đó ${{a}_{1}},\,\,{{a}_{2}}\,\,\ne 0$

            – $\left( {{d}_{1}} \right)$ cắt $\left( {{d}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow {{a}_{1}}\ne {{a}_{2}}$

            – $\left( {{d}_{1}} \right)//\left( {{d}_{2}} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\  & {{b}_{1}}\ne {{b}_{2}} \\ \end{align} \right.$

            – $\left( {{d}_{1}} \right)\,$ trùng với $\left( {{d}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\  & {{b}_{1}}={{b}_{2}} \\ \end{align} \right.$

            – $\left( {{d}_{1}} \right)\bot \left( {{d}_{2}} \right)\Leftrightarrow {{a}_{1}}.{{a}_{2}}=-1$

II – Bài tập vận dụng

Đề bài. Cho hàm số bậc nhất $y=\left( m-2 \right)x+m+3\,\,\,\left( d \right)$

a) Tìm $m$ để hàm số đồng biến.

b) Tìm $m$ để hàm số nghịch biến.

c) Tìm $m$ để $\left( d \right)$ đi qua điểm $A\left( 1;2 \right)$

d) Tìm $m$ để đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y=3x-3+m\,\,\left( {{d}_{1}} \right)$

e) Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho vuông góc với đường thẳng $\left( {{d}_{2}} \right)$ $y=2x+1$.

f) Tìm $m$ để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.

g) Tìm $m$ để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.

h) Tìm $m$ để đồ thị hàm số $\left( {{d}_{3}} \right)y=-x+2;\,\,\left( {{d}_{4}} \right)y=2x-1;\,\left( d \right)\,y=\left( m-2 \right)x+m+3$ đồng quy.

i) Tìm $m$ biết $\left( d \right)$ tạo với trục hoành một góc ${{45}^{0}}.$

j) Tìm $m$ biết $\left( d \right)$ tạo với trục hoành một góc ${{150}^{0}}.$

k) Tìm $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng $\left( d \right)$ bằng 1.

l) Tìm $m$ để $\left( d \right)$ cắt $Ox,\,\,Oy$ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2.

m) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ thì đường thẳng $\left( d \right)$ luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó.

Bài giải

a) Hàm số $y=\left( m-2 \right)x+m+3$ đồng biến

$\Leftrightarrow m-2>0$

$\Leftrightarrow m>2$

b) Hàm số $y=\left( m-2 \right)x+m+3$ nghịch biến

$\Leftrightarrow m-2<0$

$\Leftrightarrow m<2$

c) Để đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua điểm $A\left( 1;2 \right)$

$\Leftrightarrow 2=\left( m-2 \right).1+m+3$

$\Leftrightarrow 2=2m+1$

$\Leftrightarrow 2m=1$

$\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$

d) Để $\left( d \right)//\left( {{d}_{1}} \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m-2=3 \\  & m+3\ne -3+m \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow m=5$

e) Để $\left( d \right)\,\,\bot \,\,\left( {{d}_{2}} \right)$

$\Leftrightarrow 2\left( m-2 \right)=-1$

$\Leftrightarrow m-2=-\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}$

f) Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

$\Leftrightarrow \left( d \right)$ đi qua điểm $M\left( 3;0 \right)$

$\Leftrightarrow 0=3\left( m-2 \right)+m+3$

$\Leftrightarrow 0=3m-6+m+3$

$\Leftrightarrow 4m=3$

$\Leftrightarrow m=\frac{3}{4}$

g) Đồ thị hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3

$\Leftrightarrow \left( d \right)$ đi qua điểm $N\left( 0;3 \right)$

$\Leftrightarrow 3=\left( m-2 \right).0+m+3$

$\Leftrightarrow m=0$

h) Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{d}_{3}} \right)$ và $\left( {{d}_{4}} \right)$ là:

$-x+2=2x-1$

$\Leftrightarrow 3x=3$

$\Leftrightarrow x=1$

$\Rightarrow y=-1+2=1$

$\Rightarrow \left( {{d}_{3}} \right)$ cắt $\left( {{d}_{4}} \right)$ tại điểm $B\left( 1;1 \right)$

Để $\left( d \right),\,\,\left( {{d}_{3}} \right),\,\,\left( {{d}_{4}} \right)$ đồng quy thì $\left( d \right)$ phải đi qua điểm $B$

$\Leftrightarrow 1=\left( m-2 \right).1+m+3$

$\Leftrightarrow 1=2m+1$

$\Leftrightarrow 2m=0$

$\Leftrightarrow m=0$

i)

Vì $\left( d \right)$ tạo với trục $Ox$ một góc ${{45}^{0}}$ nên ta có: $m-2>0$

$\Leftrightarrow m>2$

Đồ thị hàm số $\left( d \right)$cắt$Ox$ tại điểm $E\left( \frac{-m-3}{m-2};0 \right)$ và cắt trục $Oy$ tại điểm $F\left( 0;\,m+3 \right)$

Ta có góc tạo bởi $\left( d \right)$ và trục $Ox$ là: $\widehat{OEF}$

Ta có: $\tan \widehat{OEF}=\frac{OF}{OE}$

$\Rightarrow \tan {{45}^{0}}=\left| \frac{m+3}{\frac{-m-3}{m-2}} \right|=\left| m-2 \right|$

$\Leftrightarrow \left| m-2 \right|=1$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m-2=1 \\  & m-2=-1 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=3\,\,\,(tm) \\  & m=1\,\,\,(l) \\ \end{align} \right.$

Vậy $m=3$

j)

Vì $\left( d \right)$ tạo với trục $Ox$ một góc ${{150}^{0}}$ nên $m-2<0$

$\Leftrightarrow m<2$

Đồ thị hàm số $\left( d \right)$cắt$Ox$ tại điểm $E\left( \frac{-m-3}{m-2};0 \right)$ và cắt trục $Oy$ tại điểm $F\left( 0;\,m+3 \right)$

Góc tạo bởi $\left( d \right)$ và trục $Ox$ là $\widehat{FEx}$

$\Rightarrow \widehat{FEx}={{150}^{0}}$

$\Rightarrow \widehat{OEF}={{180}^{0}}-{{150}^{0}}={{30}^{0}}$

$\tan \widehat{OEF}=\frac{OF}{OE}$

$\Rightarrow \tan {{30}^{0}}=\frac{\left| m+3 \right|}{\left| \frac{-m-3}{m-2} \right|}=\left| m-2 \right|$

$\Leftrightarrow \left| m-2 \right|=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   \text{ }\!\!~\!\!\text{ } & m-2=\frac{\sqrt{3}}{3}  \\   \text{  }\!\!~\!\!\text{ } & m-2=-\frac{\sqrt{3}}{3}  \\\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=2+\frac{\sqrt{3}}{3}(l) \\  & m=2-\frac{\sqrt{3}}{3}(tm) \\ \end{align} \right.$

Vậy $m=2-\frac{\sqrt{3}}{3}$

k)

Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $O$ đến $\left( d \right)$

Khi đó khoảng cách từ $O$ đến $\left( d \right)$ là $OH$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta OEF$ vuông tại $O$ , đường cao $AH$ ta có:

$\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{E}^{2}}}+\frac{1}{O{{F}^{2}}}$

$\frac{1}{{{1}^{1}}}=\frac{{{\left( m-2 \right)}^{2}}}{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}$

$\Rightarrow {{\left( m-2 \right)}^{2}}+1={{\left( m+3 \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m+4+1={{m}^{2}}+6m+9$

$\Leftrightarrow 10m=-4$

$\Leftrightarrow m=-\frac{2}{5}$

 l) ${{S}_{OEF}}=\frac{1}{2}OE.OF$

$\Rightarrow OE.OF=2{{S}_{OEF}}$

$\Rightarrow \left| \frac{-m-3}{m-2} \right|.\left| m+3 \right|=2.2$

$\Leftrightarrow \left| \frac{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}{m-2} \right|=4$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \frac{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}{m-2}=4 \\  & \frac{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}{m-2}=-4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{\left( m+3 \right)}^{2}}=4\left( m-2 \right) \\  & {{\left( m+3 \right)}^{2}}=-4\left( m-2 \right) \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{m}^{2}}+6m+9=4m-8 \\  & {{m}^{2}}+6m+9=-4m+8 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{m}^{2}}+2m+17=0\,\, \\  & {{m}^{2}}+10m+1=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=-5-2\sqrt{6} \\  & m=-5+2\sqrt{6} \\ \end{align} \right.$ (Phương trình đầu tiên là vô nghiệm)

m) Gọi điểm $N\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là điểm cố định mà đường thẳng $\left( d \right)$ luôn đi qua với mọi $m$

$\Leftrightarrow {{y}_{0}}=\left( m-2 \right){{x}_{0}}+m+3$ với mọi $m$

$\Leftrightarrow {{y}_{0}}=m{{x}_{0}}-2{{x}_{0}}+m+3$ với mọi $m$

$\Leftrightarrow m\left( {{x}_{0}}+1 \right)=2{{x}_{0}}+{{y}_{0}}-3$ với mọi $m$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 2{{x}_{0}}+{{y}_{0}}-3=0 \\  & {{x}_{0}}+1=0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{0}}=-1 \\  & {{y}_{0}}=5 \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow N\left( -1;5 \right)$

III – Bài tập luyện tập

Bài 1. Cho hàm số $y=\left( m+5 \right)x+2m-10$

a) Với giá trị nào của $m$ thì $y$ là hàm số bậc nhất.

b) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đồng biến.

c) Tìm $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( 2;3 \right)$.

d) Tìm $m$ để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9.

e) Tìm $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm 10 trên trục hoành.

Bài 2. Cho hàm số $y=\left( 2m+3 \right)x-2+m$

a) Tìm $m$ để hàm số đồng biến ? Nghịch biến ?

b) Tìm $m$ biết đồ thị hàm số trên song song với đường thẳng $y=-5x+3\,\,?$

Vuông góc với đường thẳng $x-2y+1=0?$

c) Tìm $m$ biết đồ thị hàm số và hai đường thẳng $y=-2x+3$ và $y=x-5$ đồng quy.

Bài 3. Cho $\left( d \right):y=\left( m-2 \right)x+2$

a) Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi thì $\left( d \right)$ luôn đi qua một điểm cố định.

b) Tìm $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ đến $\left( d \right)$ bằng 1.

c) Tìm $m$ để đường thẳng $\left( d \right)$ tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.

Bài 4. Cho hàm số $y=\left( 2-m \right)x+m-1\,\,\,\,\,\left( 1 \right).$ Với giá trị nào của $m$ thì:

a) Hàm số (1) là hàm số bậc nhất.

b) Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.

c) Đồ thị hàm số tạo với trục $Ox$ một góc $\alpha ={{30}^{0}}$.

d) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ họ các đường thẳng xác định bởi hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định. Hãy xác định tọa độ điểm cố định đó?

Bài 5. Cho hàm số $y=-x-3\,\,\,\left( {{d}_{1}} \right)$ và $y=3x+1\,\,\left( {{d}_{2}} \right)$

a) Vẽ đồ thị hàm số $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Gọi $B$ và $C$ lần lượt là giao điểm của $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ với trục hoành. $A$ là giao điểm của $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$. Tính chu vi và diện tích $\Delta ABC.$

c) Tìm góc tạo bởi $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ với trục $Ox$ (làm tròn đến phút).