Toán 12 – Giải bài tập toán 3 trang 43 SGK Giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:
a) \({{x + 3} \over {x – 1}}\) ,
b) \({{1 – 2{\rm{x}}} \over {2{\rm{x}} – 4}}\)
c) \({{ – x + 2} \over {2{\rm{x}} + 1}}\)
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: \(\mathbb R{\rm{\backslash \{ }}1\}\);
* Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = {{ – 4} \over {{{(x – 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\) ;
– Hàm số nghịch biến trên khoảng: \((-\infty;1)\) và \((1;+\infty)\).
– Cực trị: Hàm số không có cực trị.
– Tiệm cận: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ – }} = – \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = +\infty\); \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1\)
Do đó, tiệm cận đứng là: \(x = 1\); tiệm cận ngang là: \(y = 1\).
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm \(I(1;1)\) làm tâm đối xứng.
Đồ thị giao trục tung tại:\((0;-3)\), trục hoành tại \((-3;0)\)
b) Tập xác định : \(\mathbb R \backslash {\rm{\{ }}2\} \);
* Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = {6 \over {{{\left( {2{\rm{x}} – 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2\)
– Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\)
– Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
– Tiệm cận:
(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ – }} = + \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ + }} = – \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = – 1\)
Do đó, tiệm cận đứng là: \(x = 2\); tiệm cận ngang là:\( y = -1\).
Bảng biến thiên :
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm \(I(2;-1)\) lầm tâm đối xứng.
Đồ thị giao trục tung tại: \(\left( {0; – {1 \over 4}} \right)\), trục hoành tại: \(\left( {{1 \over 2};0} \right)\)
c) Tập xác định : \(R\backslash \left\{ { – {1 \over 2}} \right\}\);
Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = {{ – 5} \over {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne – {1 \over 2}\)
– Hàm số nghịch biến trên khoảng: \((-\infty;{-1\over 2})\) và \(({-1\over 2};+\infty)\)
– Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
– Tiệm cận: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to – {{{1 \over 2}}^ – }} = – \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to – {{{1 \over 2}}^ + }} = + \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = – {1 \over 2}\)
Do đó, tiệm cận đứng là: \(x = – {1 \over 2}\); tiệm cận ngang là: \(y = – {1 \over 2}\).
Bảng biến thiên :
* Đồ thị
Đồ thị nhận điểm \(I( – {1 \over 2}; – {1 \over 2})\) làm tâm đối xứng.
Đồ thị giao \(Ox\) tại: \((2;0)\), \(Oy\) tại: \((0;2)\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:a) \({{x + 3} \over {x – 1}}\) ,b) \({{1 – 2{\rm{x}}} \over {2{\rm{x}} – 4}}\)c) \({{ – x + 2} \over {2{\rm{x}} + 1}}\)\(\mathbb R{\rm{\backslash \{ }}1\}\);* Sự biến thiên:Ta có: \(y’ = {{ – 4} \over {{{(x – 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\) ;- Hàm số nghịch biến trên khoảng: \((-\infty;1)\) và \((1;+\infty)\).- Cực trị: Hàm số không có cực trị.- Tiệm cận: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ – }} = – \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = +\infty\); \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1\)Do đó, tiệm cận đứng là: \(x = 1\); tiệm cận ngang là: \(y = 1\).Bảng biến thiên:Đồ thị nhận điểm \(I(1;1)\) làm tâm đối xứng.Đồ thị giao trục tung tại:\((0;-3)\), trục hoành tại \((-3;0)\)\(\mathbb R \backslash {\rm{\{ }}2\} \);* Sự biến thiên:Ta có: \(y’ = {6 \over {{{\left( {2{\rm{x}} – 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2\)- Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\)- Cực trị:Hàm số không có cực trị.- Tiệm cận:(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ – }} = + \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ + }} = – \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = – 1\)Do đó, tiệm cận đứng là: \(x = 2\); tiệm cận ngang là:\( y = -1\).Bảng biến thiên :* Đồ thị:Đồ thị nhận điểm \(I(2;-1)\) lầm tâm đối xứng.Đồ thị giao trục tung tại: \(\left( {0; – {1 \over 4}} \right)\), trục hoành tại: \(\left( {{1 \over 2};0} \right)\)\(R\backslash \left\{ { – {1 \over 2}} \right\}\);Sự biến thiên:Ta có: \(y’ = {{ – 5} \over {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne – {1 \over 2}\)- Hàm số nghịch biến trên khoảng: \((-\infty;{-1\over 2})\) và \(({-1\over 2};+\infty)\)- Cực trị:Hàm số không có cực trị.- Tiệm cận: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to – {{{1 \over 2}}^ – }} = – \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to – {{{1 \over 2}}^ + }} = + \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = – {1 \over 2}\)Do đó, tiệm cận đứng là: \(x = – {1 \over 2}\); tiệm cận ngang là: \(y = – {1 \over 2}\).Bảng biến thiên :* Đồ thịĐồ thị nhận điểm \(I( – {1 \over 2}; – {1 \over 2})\) làm tâm đối xứng.Đồ thị giao \(Ox\) tại: \((2;0)\), \(Oy\) tại: \((0;2)\)