Lũy thừa của số hữu tỉ – Bài tập & Lời giải SGK Toán 7

5/5 – (6 bình chọn)

Ở Toán lớp 6, các em đã được học về Lũy thừa của số tự nhiên. Trong chương trình Toán lớp 7 hôm nay, các em sẽ tiếp tục luyện tập về Lũy thừa, nhưng với một tập hợp số khác: Lũy thừa của số hữu tỉ. Bài giảng đươc biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giỏi của iToan, hy vọng sẽ truyền tải được đến các em học sinh những kiến thức bổ ích, những bài tập hay và thú vị nhất!

Mục tiêu bài học

Định nghĩa luỹ thừa một số tự nhiên ( Luỹ thùa bậc n của một số hữu tỉ x , kí hiệu xn , là tích của n thừa số x ” n là một số tự nhiên lớn hơn 1 ” )
Các ví dụ về luỹ thừa một số tự nhiên áp dụng làm từng bước dễ dàng .
Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số và các ví dụ .

Kiến thức cần nắm Lũy thừa của số hữu tỉ

Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bận n của một số hữu tỉ x, kí hiệu xn, là tích của n thừa số x (n là một số tự nhiên lớn hơn 1).

(n thừa số x, x∈Q, n∈N, n>1).

Lũy thừa của số hữu tỉ

Khi viết số hữu tỉ x dưới dạng ab (a,b∈Z,b≠0) ta có:

Lũy thừa của số hữu tỉ

Ví dụ 1: Tính: (−3/4)2;

Giải:

(−3/4)2 = 9/16

Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số

(Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ).

Lũy thừa của số hữu tỉ

(Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia).

Lũy thừa của số hữu tỉ

Ví dụ 2: Tính: (−3)2.(−3)3

Giải:

(−3)2.(−3)3 = (−3)5 = −35

Lũy thừa của lũy thừa

(Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ).

Lũy thừa của số hữu tỉ

Ví dụ 3: Tính: (2^2)^3

Giải:

(2^2)^3 = 2^6

Lũy thừa của một tích

(Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa).

Ví dụ 4: Tính: (1,53).8

Giải:

(1,53).8 = (1,53).23 = (1,5.2)3 = 33 = 27

Lũy thừa của một thương

(Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa).

Ví dụ 5: Tính: 15327

Giải:

15327 = (3.5)333=53=125

Video bài giảng dưới đây vừa ngắn gọn, vừa bổ ích, giúp các em nắm bài hiệu quả hơn!

>> Xem thêm: Lũy thừa số hữu tỉ ( tiếp theo)

Giải bài tập SGK Lũy thừa của một số hữu tỉ

Bài 34 trang 22 SGK Toán 7 Tập 1

Trong vở bài tập của bạn Dũng có bài làm sau:

a) ( $-5)^2 . (-5)^3 = (-5)^6;$

b) $(0,75)^3 : 0,75 = (0,75)^2;$

c) $(0,2)^10 : (0,2)^5 = (0,2)^2;$

d) $\left[\left(- \dfrac{1}{7}\right)^2\right]^4 = \left(- \dfrac{1}{7}\right)^6;$

e) $\dfrac{50^3}{125} = \dfrac{50^3}{5^3} = \left(\dfrac{50}{5}\right)^3 = 10^3 = 1000;$

f) $\dfrac{8^{10}}{4^8} = \left(\dfrac{8}{4}\right)^{10 - 8} = 2^2 .$

Hãy kiểm tra lại các đáp số và sửa lại chỗ sai (nếu có).

Đáp án và hướng dẫn giải

Các câu sai là a, c, d, f

Các câu đúng là b, e

Sửa lại:

a) $(-5)^2 .(-5)^3 = (-5)^5$

c) $(0,2)^{10} : (0,2)^5 = (0,2)^5$

d) $\left[\left(- \dfrac{1}{7}\right)^2\right]^4 = \left(- \dfrac{1}{7}\right)^8;$

f) $\dfrac{8^{10}}{4^8} = \dfrac{(2.4)^{10}}{4^8} = \dfrac{2^{10}.4^{10}}{4^8} = 2^{10}.4^2 = 2^{10}.2^4 = 2^{14}$

Bài 35 trang 22 SGK Toán 7 Tập 1

Ta thừa nhận tính chất sau đây: Với $a \ne 0, a \ne \pm1$ , nếu $a^m = a^n$ thì m = n. Dựa vào tính chất này, hãy tìm các số tự nhiên m và n, biết:

a) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^m = \dfrac{1}{32};$

b) $\dfrac{343}{125} = \left(\dfrac{7}{5}\right)^n$

Đáp án và hướng dẫn giải

a) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^m = \dfrac{1}{32}$

$\Leftrightarrow \left(\dfrac{1}{2}\right)^m = \left(\dfrac{1}{2}\right)^5$

$\Rightarrow m = 5$

b) $\dfrac{343}{125} = \left(\dfrac{7}{5}\right)^n$

$\Leftrightarrow \left(\dfrac{7}{5}\right)^3 = \left(\dfrac{7}{5}\right)^n$

$\Rightarrow n = 3$

Bài 36 trang 22 SGK Toán 7 Tập 1

Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ :

a) 108 . 28

b) 108 : 28

c) 254 . 28

d) 158 . 94

e) 272 : 253

Đáp án và hướng dẫn giải

a) 108 . 28 = (10.2)8 = 208

b) 108 : 28 = (10:2)8 = 58

c) 254 . 28 = 58 . 28 = 108

d) 158 . 94 = 158 . 38 = 458

e) 272 : 253 = (33)2 : (52)3 = 33.2 : 52.3 = 36 : 56

$= \left(\dfrac{3}{5}\right)^6$

Bài 37 trang 22 SGK Toán 7 Tập 1

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $\dfrac{4^2.4^3}{2^{10}}$

b) $\dfrac{(0,6)^5}{(0,2)^6};$

c) $\dfrac{2^7.9^3}{6^5.8^2}$

d) $\dfrac{6^3 + 3.6^2 + 3^3}{-13}$

Đáp án và hướng dẫn giải

a) $\dfrac{4^2.4^3}{2^{10}} = \dfrac{4^5}{2^{10}} =\dfrac{(2^2)^5}{2^{10}} = \dfrac{2^{10}}{2^{10}} =1$

b) $\dfrac{(0,6)^5}{(0,2)^6} = \dfrac{(3.0,2)^5}{(0,2).(0,2)^5} = \dfrac{3^{5}.(0,2)^5}{(0,2).(0,2)^5} = \dfrac{3^{5}}{(0,2)} = \dfrac{243}{(0,2)} = 1215$

c) $\dfrac{2^7.9^3}{6^5.8^2} = \dfrac{2^2.2^5.(3^2)^3}{(2.3)^5.(2^3)^2} = \dfrac{2^2.2^5.3^6}{2^5.3^5.2^6} = \dfrac{3}{2^4} = \dfrac{3}{16}$

d) $\dfrac{6^3 + 3.6^2 + 3^3}{-13}$

$= \dfrac{(2.3)^3 + 3.(2.3)^2 + 3^3}{-13}$

$= \dfrac{2^3.3^3 + 2^2.3^3 + 3^3}{-13}$

$= \dfrac{3^3(2^3 + 2^2 + 1)}{-13}$

$= \dfrac{27.13}{-13} = -27$

Bài 38 trang 22 SGK Toán 7 Tập 1

a) Viết các số 227 và 318 dưới dạng các lũy thừa có số mũ là 9.

b) Trong hai số 227 và 318 số nào lớn hơn.

Đáp án và hướng dẫn giải

a) Ta có 227 = (23)9 = 89

318 = (32)9 = 99

b) Vì 8 < 9 nên 89 < 99 hay 227 < 318

Bài 39 trang 23 SGK Toán 7 Tập 1

Cho x ∈ Q và x ≠ 0. Viết x10 dưới dạng:

a) Tích của hai lũy thừa trong đó có một thừa số là x7.

b) Lũy thừa của x2.

c) Thương của hai lũy thừa trong đó số bị chia là x12.

Đáp án và hướng dẫn giải

a) x10 = x3 . x7

b) x10 = (x2)5

c) x10 = x12 : x2

Bài 40 trang 23 SGK Toán 7 Tập 1

Tính:

a) $\left(\dfrac{3}{7} + \dfrac{1}{2} \right)^2 ;$

b) $\left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{6} \right)^2 ;$

c) $\dfrac{5^4.20^4}{25^5.4^5} ;$

d) $\left(\dfrac{-10}{3} \right)^5 . \left(\dfrac{-6}{5} \right)^4$

Đáp án và hướng dẫn giải

a) $\left(\dfrac{3}{7} + \dfrac{1}{2} \right)^2 = \left(\dfrac{6 + 7}{14} \right)^2 = \left(\dfrac{13}{14} \right)^2 = \dfrac{169}{196}$

b) $\left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{6} \right)^2 = \left(\dfrac{9 - 10}{12} \right)^2 = \left(\dfrac{-1}{12} \right)^2 = \dfrac{1}{144}$

c) $\dfrac{5^4.20^4}{25^5.4^5} = \dfrac{5^4.(5.4)^4}{(5.5)^5.4^5} =\dfrac{5^4.5^4.4^4}{5^5.5^5.4^5} = \dfrac{1}{5.5.4} = \dfrac{1}{100}$

d) $\left(\dfrac{-10}{3} \right)^5 . \left(\dfrac{-6}{5} \right)^4 = \dfrac{(-2.5)^5}{3^5}.\dfrac{(2.3)^4}{5^4} = \dfrac{-2^5.5^5.2^4.3^4}{3^5.5^4} = \dfrac{-2^9.5}{3} = \dfrac{-2560}{3}$

Bài 41 trang 23 SGK Toán 7 Tập 1

Tính:

a) $\left(1 + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}\right). \left( \dfrac{4}{5} - \dfrac{3}{4}\right)^2$

b) $2 : \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3}\right)^3$

Đáp án và hướng dẫn giải

a) $\left(1 + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}\right). \left( \dfrac{4}{5} - \dfrac{3}{4}\right)^2$

$= \left(\dfrac{12 + 8 - 3}{12}\right). \left(\dfrac{16 - 15}{20}\right)^2$

$= \dfrac{17}{12}. \left(\dfrac{1}{20}\right)^2$

$= \dfrac{17}{4800}$

b) $2 : \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3}\right)^3$

$= 2 : \left(\dfrac{3 - 4}{6}\right)^3$

$= 2 : \left(-\dfrac{1}{6}\right)^3$

$= 2 : \dfrac{-1}{216}$

$= 2 . \dfrac{-216}{1} = -432$

Bài 42 trang 23 SGK Toán 7 Tập 1

Tìm số tự nhiên n, biết:

a) $\dfrac{16}{2^n} = 2;$

b) $\dfrac{(-3)^n}{81} = -27;$

c) $8^n : 2^n = 4.$

Đáp án và hướng dẫn giải

a) $\dfrac{16}{2^n} = 2 \Leftrightarrow 2^n.2 = 16 \Leftrightarrow 2^{n + 1} = 2^4 \Leftrightarrow n + 1 = 4 \Leftrightarrow n = 3$

b) $\dfrac{(-3)^n}{81} = -27 \Leftrightarrow (-3)^n = (-3)^3.3^4 \Leftrightarrow (-3)^n = (-3)^7 \Leftrightarrow n = 7$

c) $8^n : 2^n = 4 \Leftrightarrow \left(\dfrac{8}{2}\right)^n = 2^2 \Leftrightarrow 4^n = 2^2 \Leftrightarrow 2^{2n} = 2^2 \Leftrightarrow 2n = 2 \Leftrightarrow n = 1$