Khái niệm về thể tích của khối đa diện và Cách giải một số bài tập về thể tích khối đa diện

Thể tích khối đa diện là một chuyên đề quan trọng trong hình học lớp 12. Vậy khái niệm về thể tích của khối đa diện là gì? Các công thức tính thể tích khối đa diện và cách giải một số bài tập về khối đa diện thế nào? Hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu dưới đây.

Mục lục

Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Cũng giống như khái niệm thể tích thông thường, khái niệm về thể tích của khối đa diện được hiểu là không gian mà khối đa diện đó chiếm. Gọi khối đa diện là (H), người ta đã chứng minh được rằng: mọi khối đa diện (H) đều có thể tích dương, tức là V(H) >0.

Đồng thời, thể tích của (H) thỏa mãn các tính chất sau:

Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H)=1
Nếu 2 khối đa diện H1 và H2 bằng nhau thì V(H1) = V(H2)
Nếu khối đa diện H được phân chia thành 2 khối đa diện nhỏ hơn là H1 và H2 thì: V(H)= V(H1) + V(H2)

khái niệm về thể tích khối đa diện

Công thức tính thể tích của khối đa diện

Bên cạnh khái niệm về thể tích của khối đa diện, công thức tính thể tích của khối đa diện cũng là một vấn đề ghi nhớ. Một số công thức áp dụng thường xuyên trong phần thể tích khối đa diện gồm:

Thể tích hình hộp chữ nhật: V= abc với a là chiều dài, b là chiều rộng và c là chiều cao của hình hộp chữ nhật.
Thể tích hình lập phương: V= a

3

với a là độ dài cạnh của hình lập phương.
Thể tích hình lăng trụ: V = Sh với S là diện tích đáy, h là chiều cao
Thể tích hình cầu: V= trong đó r là bán kính
Thể tích khối chóp: V =

1

3

Bh với B là diện tích đáy, h là chiều cao.
Thể tích hình nón: V =

1

3

Bh =

1

3

r

2

h

Giải bài tập khối đa diện

Để hiểu rõ hơn khái niệm về thể tích của khối đa diện và cách áp dụng các công thức, chúng ta cùng tìm hiểu cách giải một số bài tập khái niệm về khối đa diện sgk.

Bài 2 trang 25 sgk hình học 12

Đề bài: Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.

Cách giải:

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần chia khối bát diện đều thành các hình đa giác có thể áp dụng công thức để tính thể tích.

Chia khối bát diện đều thành hai khối chóp tứ giác đều cạnh a là E.ABCD và F.ABCD.

Gọi H là tâm hình vuông ABCD. Áp dụng định lý Py-ta-go, tính được độ dài đường chéo hình vuông AC = a2 suy ra: AH= a22.

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông EHA có: EH = a22.

Vậy thể tích khối bát diện đều cạnh a là: V= V(E.ABCD) + V (F.ABCD)= 2. 13. EH. SABCD

Thay số ta có: V= a3 23.

Bài 3 trang 25 sgk hình học 12

Đề bài: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính tỉ số giữa thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB’D’.

Cách giải:

Trước tiên ta gọi S là diện tích đáy và h là chiều cao của khối hộp. Chia khối hộp thành ABCDA’B′C’D′ và bốn khối chóp A.A′B′D′, C.C′B′D’, B′.BAC và D′.DAC.

Xét khối chóp A.A′B′D′ có S A′B′D′ = s2 suy ra V= 13 . S2 . h = Sh6

Tương tự vậy, ta tình được V của các khối chóp còn lại.

Vậy V (ACB’D’)= Sh – 4 Sh6 = Sh3.

Từ đó ta sẽ tính được tỉ lệ theo yêu cầu bài toán.

Bài 4 trang 25 sgk hình học 12

Đề bài:

Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng: VS.A’B’c’VS.ABC= SA’SA = SB’SB = SC’SC

Cách giải:

Trước tiên gọi h và h’ lần lượt là chiều cao từ A, A’ đến mặt phẳng (SBC).

Gọi S1 và S2 lần lượt là diện tích các tam giác SBC và SB’C’.

Khi đó ta có: h’h= SA’SA và S.A’B’c’S.ABC= SB’SB . SC’SC

Suy ra: VS.A’B’c’VS.ABC= 13h’S213hS1= SA’SA. SB’SB . SC’SC suy ra điều phải chứng minh.

Bài 6 trang 26 sgk hình học 12

Đề bài: Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d′. Đoạn thẳng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên d′. Chứng minh rằng khối tứ diện ABCD có thể tích không đổi.

Cách giải:

Gọi h là độ dài đường vuông góc chung của d và d′, α là góc giữa hai đường thẳng d và d′. Qua B,A,C dựng hình bình hành BACF. Qua A,C,D dựng hình bình hành ACDE.

Có CFD.ABE là một hình lăng trụ tam giác.

Suy ra: V D.ABE +V D.BACF = V CFD.ABE

V D.ABE= 13 V CFD.ABE suy ra V D.BACF= 23 V CFD.ABE= 2V D.ABE

VD.ABC= 12 V D.BACF = 13 V CFD.ABE

Kẻ AH vuông góc với mặt phẳng CDF. Ta có: V ABCD= 13 V CFD.ABE = 13 SH. S CDF

Lại có: AB song song với CF nên AB song song với mặt phẳng CDF và mặt phẳng này chứa CD nên d(d,d’)= d(AB,CD)= d(AB, (CDF))= d(A,(CDF))= AH= h

AB song song với CF suy ra góc DCF= α nên SCDF= 12 CD. CF. sin α = 12 absin α

Vậy: VABCD = 13 h 12 absinα = 16 h absin α

Suy ra điều phải chứng minh.

Để hiểu và vận dụng tốt hơn khái niệm về thể tích của khối đa diện, bạn cũng không nên bỏ qua bài bài 5 trang 26 sgk hình học 12 và bài 6 trang 25 sgk hình học 12.

Hy vọng qua bài viết trên đây bạn đã hiểu rõ hơn khái niệm về thể tích của khối đa diện và cách vận dụng khi làm bài tập. Hãy truy cập DINHNGHIA.VN để khám phá nhiều kiến thức bổ ích hơn nữa nhé.

Rate this post

Please follow and like us: