Giải bài tập toán 11 trang 17, 18 SGK

Bài 1 (trang 17 SGK Đại số 11): Hãy xác định giá trị của x trên đoạn [- π ; 3π/2] để hàm số y = tan x:

a. Nhận giá trị bằng 0

b. Nhận giá trị bằng 1

c. Nhận giá trị dương

d. Nhận giá trị âm

Lời giải:

a) Trục hoành cắt đoạn đồ thị \[y=tanx\] (ứng với \[x\in \left[ -\pi ;\frac{3\pi }{2} \right]\]) tại ba điểm có hoành độ – π ; 0 ; π. Do đó trên đoạn \[\left[ -\pi ;\frac{3\pi }{2} \right]\] chỉ có ba giá trị của \[x\] để hàm số \[y=tanx\] nhận giá trị bằng 0, đó là \[x=-\pi ;x=0;x=\pi \]

b) Đường thẳng \[y=1\] cắt đoạn đồ thị \[y=tanx\] (ứng với \[x\in \left[ -\pi ;\frac{3\pi }{2} \right]\]) tại ba điểm có hoành độ \[\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\pm \pi .\] Do đó trên đoạn \[\left[ -\pi ;\frac{3\pi }{2} \right]\] chỉ có ba giá trị của \[x\] để hàm số \[y=tanx\] nhận giá trị bằng 1, đó là \[x=-\frac{3\pi }{4};x=\frac{\pi }{4};x=\frac{5\pi }{4}\]

c) Phần phía trên trục hoành của đoạn đồ thị \[y=tanx\] (ứng với \[x\in \left[ -\pi ;\frac{3\pi }{2} \right]\]) gồm các điểm của đồ thị có hoành độ truộc một trong các khoảng \[\left( -\pi ;-\frac{\pi }{2} \right)\]; \[\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]; \[\left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)\]. Vậy trên đoạn \[\left[ -\pi ;\frac{3\pi }{2} \right]\] các giá trị của \[x\] để hàm số \[y=tanx\] nhận giá trị dương, đó là \[x\in \left( -\pi ;-\frac{\pi }{2} \right)\mathop{\cup }^{}\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\mathop{\cup }^{}\left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)\]

Bài 2 (trang 17 SGK Đại số 11): Tìm tập xác định của hàm số:

a) \[y=\frac{1+cosx}{sinx}\]

b) \[y=\sqrt{\frac{1+cosx}{1-cosx}}\]

c) \[y=tan(x-\frac{\pi }{3})\]

d) \[y=cot(x+\frac{\pi }{6})\]

Lời giải:

a) Hàm số đã cho không xác định khi và chỉ khi sinx = 0. Từ đồ thị của hàm số y = sinx suy ra các giá trị này của x là x = kπ. Vậy hàm số đã cho có tập xác định là \[D=R\setminus \{k\pi ,k\in Z\}\]

b) Vì -1 ≤ cosx ≤ 1, ∀x nên hàm số đã cho không xác định khi và chỉ khi cosx = 1. Từ đồ thị của hàm số y = cosx suy ra các giá trị này của x là x = k2π. Vậy hàm số đã cho có tập xác định là R\{k2π, (k ∈ Z)}.

c) Hàm số đã cho không xác định khi và chỉ khi x – π/3 = π/2 + kπ ⇔ x = 5π/6 + kπ (k ∈ Z) . Hàm số đã cho có tập xác định là R\{5π/6 + kπ, (k ∈ Z)}

d) Hàm số đã cho không xác định khi và chỉ khi x + π/6 = kπ ⇔ x = -π/6 + kπ, (k ∈ Z). Hàm số đã cho có tập xác định là R\{-π/6 + kπ, (k ∈ Z)}.

Bài 3 (trang 17 SGK Đại số 11): Dựa vào đồ thị của hàm số y = sin x, vẽ đồ thị của hàm số y = | sin x|

Lời giải:

Ta có

Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số \[y=sinx\]

Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số \[y=sinx\] qua trục Ox.

Bước 3: Xóa đi phần đồ thị hàm số \[y=sinx\] qua trục Ox.

Khi đó ta được đồ thị hàm số y = | sin x| như sau:

Bài 4 (trang 17 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng sin 2(x + kπ) = sin 2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin 2x

Lời giải:

Ta có: sin 2x (x + kπ) = sin (2x + k2π) = sin 2x, (k ∈ Z)

Hàm số y = sin 2x là hàm số tuần hoàn với chu kì π và là hàm số lẻ.

Cho x=0 \[y=0;y=\pm \frac{\pi }{4};y=\pm 1\]

\[x=\pm \frac{\pi }{2}\]\[\Rightarrow y=0;y=\pm \frac{3\pi }{4};y=\pm 1\]

\[x=\pm \pi \]\[\Rightarrow y=0\]

Đồ thị:

Bài 5 (trang 18 SGK Đại số 11): Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x, tìm các giá trị của x để cos x = 1/2

Lời giải:

Cosx = 1/2 là phương trình xác định hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 1/2 và đồ thị y = cosx.

Từ đồ thị đã biết của hàm số y = cosx, ta suy ra x = ±π/3 + k2π, (k ∈Z), (Các em học sinh nên chú ý tìm giao điểm của đường thẳng với đồ thị trong đoạn [-π; π] và thấy ngay rằng trong đoạn này chỉ có giao điểm ứng với x = ±π/3 rồi sử dụng tính tuần hoàn để suy ra tất cả các giá trị của x là x = ±π/3 + k2π, (k ∈Z)).

Bài 6 (trang 18 SGK Đại số 11): Dựa trên đồ thị hàm số y = sin x, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.

Lời giải:

Nhìn đồ thị y = sinx ta thấy trong đoạn [-π; π] các điểm nằm phía trên trục hoành của đồ thị y = sinx là các điểm có hoành độ thuộc khoảng (0; π). Từ đó, tất cả các khoảng giá trị của x để hàm đó nhận giá trị dương là (0 + k2π; π + k2π) hay (k2π; π + k2π) trong đó k là một số nguyên tùy ý.

Bài 7 (trang 18 SGK Đại số 11): Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm.

Lời giải: