Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau khi rút gọn

Mục Lục

Hướng dẫn học sinh lớp 9 làm câu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau khi rút gọn qua các cách có ví dụ minh họa.

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức thi thoảng xuất hiện trong câu cuối của bài 1 trong đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán.

Cách thường sử dụng áp dụng với từng dạng biểu thức:

a) Tìm giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất biểu thức $A=\sqrt{x-a}+\sqrt{b-x}$

Phương pháp: Điều kiện rồi bình phương hai vế, sau đó sử dụng Cosi:

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $A=\sqrt{x-4}+\sqrt{10-x}$

Điều kiện: $4 \leq x \leq 10 .$
Ta có: $A^{2}=(\sqrt{x-4}+\sqrt{10-x})^{2}=x-4+2 \sqrt{(x-4)(10-x)}+10-x=6+2 \sqrt{(x-4)(10-x)}$

Vì $\sqrt{(x-4)(10-x)} \geq 0$ nên $A^{2} \geq 6$

Suy ra $A \geq \sqrt{6}$ . Vậy $A \mathrm{~min}=\sqrt{6}$ khi $\sqrt{(x-4)(10-x)}=0$ suy ra $\left[\begin{array}{l}x=4 \\ x=10\end{array}\right.$ .

Vì $2 \sqrt{(x-4)(10-x)} \leq x-4+10-x=6$ (BDT Cosi $2 \sqrt{a b} \leq a+b)$

Suy ra $A^{2}=6+2 \sqrt{(x-4)(10-x)} \leq 12 \Rightarrow A \leq \sqrt{12}$

Vậy $\max A=\sqrt{12}$ khi $x-4=10-x \Leftrightarrow x=7$

b) Tìm giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất bằng cách sử dụng hằng đẳng thức số 1 và số 2:

$\left\{\begin{array}{l}(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\ (a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}\end{array}\right.$

Ví dụ: Tìm GTLN của $A=\sqrt{x}-x .$ Ta có: $A=\frac{1}{4}-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^{2}$

$\mathrm{Vi}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^{2} \geq 0 \quad \forall x \geq 0 \Rightarrow \frac{1}{4}-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^{2} \leq \frac{1}{4} .$

Dấu bằng xảy ra khi $\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

Vậy max $\ A=\frac{1}{4}$ khi $x=\frac{1}{4}$ .

Chú ý với biểu thức: $A=x+2 \sqrt{x}+4$ : Các em chỉ cần đánh giá:

$x \geq 0 \Rightarrow x+2 \sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow A=x+2 \sqrt{x}+4 \geq 4$

c) Tìm giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất bằng phương pháp đánh giá

Thường dùng khi tử số là hằng số

Ví dụ: Tìm GTNN của $A=\frac{10}{3-2 \sqrt{x}} .$

Ta có: $\sqrt{x} \geq 0 \forall x \geq 0 \Rightarrow 3-2 \sqrt{x} \leq 3$

$\Rightarrow A=\frac{10}{3-2 \sqrt{x}} \geq \frac{10}{3} .$

Dấu bằng xảy ra khi $x=0 .$

Vậy min $\ A=\frac{10}{3} \Leftrightarrow x=0$

d) Tìm giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất bằng cách thực hiện phép chia rồi đánh giá

Thường dùng khi tử số và mẫu số cùng bậc

Ví dụ: Tìm GTNN của $A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+6} .$

Ta có: $A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+6}=1-\frac{5}{\sqrt{x}+6}$

Vì $\sqrt{x} \geq 0 \forall x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x}+6 \geq 6 \Rightarrow \frac{5}{\sqrt{x}+6} \leq \frac{5}{6} \Rightarrow 1-\frac{5}{\sqrt{x}+6} \geq 1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$ .