Bài tập xác suất thống kê chương 2

Lời giải bài 10.
a) Số cách chọn được hai tấm thẻ bất kỳ trong $10$ tấm thẻ là $C_{10}^2$. Số cách chọn hai tấm thẻ trong đó có một thẻ số $1$ và một thẻ số $2$ là
$C_4^1\times C_3^1.$
Vậy xác suất chọn được một thẻ số $1$ và một thẻ số $2$ là $\displaystyle\frac{C_4^1\times C_3^1}{C_{10}^2}=\displaystyle\frac{4}{15}.$
b) $X$ nhận các giá trị $2; 3; 4; 5; 6; 7.$
$(X=2)$ là biến cố: “Chọn được $2$ tấm thẻ số $1$”, do đó
$$\Bbb P(X=2)=\displaystyle\frac{C_4^2}{C_{10}^2}=\displaystyle\frac{6}{45}.$$
$(X=3)$ là biến cố: “Chọn được $1$ tấm thẻ số $1$ và $1$ tấm thẻ số $2$”, do đó
$$\Bbb P(X=3)=\displaystyle\frac{C_4^1\times C_3^1}{C_{10}^2}=\displaystyle\frac{12}{45}.$$
$(X=4)=A\cup B$, trong đó $A$ là biến cố: “Chọn được $1$ tấm thẻ số $1$ và $1$ tấm thẻ số $3$”, $B$ là biến cố: “Chọn được $2$ tấm thẻ số $2$”.
Ta có
\begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
\Bbb P(A)&=\displaystyle\frac{C_4^1\times C_2^1}{C_{10}^2}=\displaystyle\frac{8}{45},\\
\Bbb P(B)&=\displaystyle\frac{C_3^2}{C_{10}^2}=\displaystyle\frac{3}{45}.
\end{aligned}
\end{equation*}
Vì hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc nên
\begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
\Bbb P(X=4)&=\Bbb P(A)+\Bbb P(B)\\
&=\displaystyle\frac{8}{45}+\displaystyle\frac{3}{45}\\
&=\displaystyle\frac{11}{45}.
\end{aligned}
\end{equation*}
$(X=5)=C\cup D$, trong đó $C$ là biến cố: “Chọn được $1$ tấm thẻ số $1$ và $1$ tấm thẻ số $4$”, $D$ là biến cố: “Chọn được $1$ tấm thẻ số $2$ và $1$ tấm thẻ số $3$”.
Ta có
\begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
\Bbb P(C)&=\displaystyle\frac{C_4^1\times C_1^1}{C_{10}^2}=\displaystyle\frac{4}{45},\\
\Bbb P(D)&=\displaystyle\frac{C_3^1\times C_2^1}{C_{10}^2}=\displaystyle\frac{6}{45}.
\end{aligned}
\end{equation*}
Vì hai biến cố $C$ và $D$ xung khắc nên
\begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
\Bbb P(X=5)&=\Bbb P(C)+\Bbb P(D)\\
&=\displaystyle\frac{4}{45}+\displaystyle\frac{6}{45}\\
&=\displaystyle\frac{10}{45}.
\end{aligned}
\end{equation*}
$(X=6)=E\cup F$, trong đó $E$ là biến cố: “Chọn được $1$ tấm thẻ số $2$ và $1$ tấm thẻ số $4$”, $F$ là biến cố: “Chọn được $2$ tấm thẻ số $3$”.\\
Ta có
\begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
\Bbb P(E)&=\displaystyle\frac{C_3^1\times C_1^1}{C_{10}^2}=\displaystyle\frac{3}{45},\\
\Bbb P(F)&=\displaystyle\frac{C_2^2}{C_{10}^2}=\displaystyle\frac{1}{45}.
\end{aligned}
\end{equation*}
Vì hai biến cố $E$ và $F$ xung khắc nên
\begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
\Bbb P(X=6)&=\Bbb P(E)+\Bbb P(F)\\
&=\displaystyle\frac{3}{45}+\displaystyle\frac{1}{45}\\
&=\displaystyle\frac{4}{45}.
\end{aligned}
\end{equation*}
$(X=7)$ là biến cố: “Chọn được $1$ tấm thẻ số $3$ và $1$ tấm thẻ số $4$”, do đó
$$\Bbb P(X=7)=\displaystyle\frac{C_2^1\times C_1^1}{C_{10}^2}=\displaystyle\frac{2}{45}.$$
Bảng phân bố xác suất của $X$
\begin{array}{| c| c| c| c| c| c| c|}\hline
X & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
\hline
\Bbb P & \displaystyle\frac{6}{45} & \displaystyle\frac{12}{45} & \displaystyle\frac{11}{45} & \displaystyle\frac{10}{45} & \displaystyle\frac{4}{45} & \displaystyle\frac{2}{45}\\
\hline
\end{array}
Hàm phân bố xác suất $F_X(x)$
$$F_X(x)=
\begin{cases}
0 & \mbox{ khi $x<2$},\\
\displaystyle\frac{6}{45} & \mbox{ khi $2\leq x<3$},\\
\displaystyle\frac{6}{45}+\displaystyle\frac{12}{45} & \mbox{ khi $3\leq x<4$},\\
\displaystyle\frac{6}{45}+\displaystyle\frac{12}{45}+\displaystyle\frac{11}{45} & \mbox{ khi $4\leq x<5$},\\
\displaystyle\frac{6}{45}+\displaystyle\frac{12}{45}+\displaystyle\frac{11}{45}+\displaystyle\frac{10}{45} & \mbox{ khi $5\leq x<6$},\\
\displaystyle\frac{6}{45}+\displaystyle\frac{12}{45}+\displaystyle\frac{11}{45}+\displaystyle\frac{10}{45}+\displaystyle\frac{4}{45} & \mbox{ khi $6\leq x<7$},\\
1 & \mbox{ khi $x\geq 7$}.
\end{cases}$$
Hay
$$F_X(x)=
\begin{cases}
0 & \mbox{ khi $x<2$},\\
\displaystyle\frac{6}{45} & \mbox{ khi $2\leq x<3$},\\
\displaystyle\frac{18}{45} & \mbox{ khi $3\leq x<4$},\\
\displaystyle\frac{29}{45} & \mbox{ khi $4\leq x<5$},\\
\displaystyle\frac{39}{45} & \mbox{ khi $5\leq x<6$},\\
\displaystyle\frac{43}{45} & \mbox{ khi $6\leq x<7$},\\
1 & \mbox{ khi $x\geq 7$}.
\end{cases}$$
c) Kỳ vọng của $X$
\begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
\Bbb E(X)&=2\times\displaystyle\frac{6}{45}+3\times\displaystyle\frac{12}{45}+4\times\displaystyle\frac{11}{45}+5\times\displaystyle\frac{10}{45}+6\times\displaystyle\frac{4}{45}+7\times\displaystyle\frac{2}{45}\\
&=\displaystyle\frac{180}{45}\\
&=4.
\end{aligned}
\end{equation*}
Ta thấy $Y=20X$, do đó
\begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
\Bbb E(Y)&=\Bbb E(20X)\\
&=20\Bbb E(X)\\
&=20\times 4\\
&=80.
\end{aligned}
\end{equation*}