Bài 36 trang 124 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng :

a) Đi qua ba điểm A(-1;2;3),B(2;-4;3), C(4;5;6).

b) Đi qua điểm M0(1;3;-2) và vuông góc với trục Oy.

c) Đi qua điểm M0(1;3;-2) và vuông góc với đường thẳng BC với B=(0;2;-3), C=(1;-4;1).

d) Đi qua điểm M0(1;3;-2) và song song với mặt phẳng

2x-y+3z+4=0.

e) Đi qua hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0.

g) Đi qua điểm M0(2;-1;2),song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0.

h) Đi qua điểm M0(-2;3;1) và vuông góc với hai mặt phẳng

\(\eqalign{
& \left( \alpha \right):2x + y + 2z + 5 = 0 \cr
& \left( {\alpha ‘} \right):3x + 2y + z – 3 = 0 \cr} \)

Giải

a) Cách 1: Mặt phẳng cần tìm có vec tơ pháp tuyến là :

\(\eqalign{ & \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]. \cr & \overrightarrow {AB} = (3; – 6;0),\overrightarrow {AC} = (5;3;3) \cr&\Rightarrow \overrightarrow n = \left( {\left| \matrix{ – 6 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 0 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 0 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 3 \hfill \cr 5 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 3 \hfill \cr 5 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ – 6 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right|} \right) \cr & = ( – 18; – 9;39). \cr} \)

Hiển nhiên \({1 \over 3}\overrightarrow n = ( – 6; – 3;13)\) cũng là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm . Vậy mặt phẳng cần tìm đi qua điểm A(-1;2;3) với vec tơ pháp tuyến (-6;-3;13) nên có phương trình :

\(-6(x+1)-3(y-2)+13(z-3)=0\)

hay \(-6x-3y+13z-39=0.\)

Cách 2: Mặt phẳng cần tìm có phương trình dạng :

Ax+By+Cz+D=0.

Vì ba điểm A, B, C nằm trên mặt phẳng đó nên tọa độ của chúng phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng và ta có hệ :

\(\left\{ \matrix{ – A + 2B + 3C + D = 0 \hfill \cr 2A – 4B + 3C + D = 0 \hfill \cr 4A + 5B + 6C + D = 0. \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{ – 3A + 6B = 0 \hfill \cr 2A + 9B + 3C = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ A = 2B \hfill \cr B = – {3 \over {13}}C. \hfill \cr} \right.\)

Suy ra :\(A = 2B = – {6 \over {13}}C,D = A – 2B – 3C = – 3C.\)

Ta có thể chọn \(C=13\), khi đó \(A=-6, B=-3, D=-39\) và phương trình mặt phẳng cần tìm là

\(-6x-3y+13z-39=0.\)

b) Mặt phẳng qua M0(1;3;-2), vuông góc với trục Oy nên nó song song với mp(Oxz).

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là \(y=3\) (xem bài 35a).

Ta có thể giải cách khác như sau:

Mặt phẳng cần tìm là vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \overrightarrow j = (0;1;0)\) nên có phương trình :

\(0(x – 1) + 1.(y – 3) + 0(z + 2) = 0 \Leftrightarrow y – 3 = 0.\)

c) Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là \(\overrightarrow n = \overrightarrow {BC} = (1; – 6;4)\),

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:

\(1(x-1)-6(y-3)+4(z+2)=0\)

hay \(x-6y+4z+25=0.\)

d) Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng : 2x-y+3z+4=0 nên phương trình có dạng

2x-y+3z+D=0 với \(D \ne 4\). Vì M0(1;3;-2) thuộc mặt phẳng đó nên \(2.1-3+3.(-2)+D=0 \Rightarrow D = 7.\)

Phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(2x-y+3z+7=0.\)

Ta cũng có thể giải bằng cách khác như sau: Vì mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0 nên nó có một vect ơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (2; – 1;3)\).

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là

\(2(x – 1) – 1(y – 3) + 3(z + 2) = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2x – y + 3z + 7 = 0.\)

e) Véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của mặt phẳng cần tìm vuông góc với hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} = ( – 1; – 2;5)\) và \(\overrightarrow {n’} = (2; – 1;3)\) (\(\overrightarrow {n’} \) là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(2x-y+3z+4=0\)).

Vậy ta lấy \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {n’} } \right] = \left( {\left| \matrix{ – 2 \hfill \cr – 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 5 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 5 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ – 1 \hfill \cr 2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ – 1 \hfill \cr 2 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ – 2 \hfill \cr – 1 \hfill \cr} \right|} \right) \)

\(= ( – 1;13;5).\)

Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là:

\(-1(x-3)+13(y-1)+5(z+1)=0\)

hay \(x-13y-5z+5=0.\)

g) Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x-y+3z+4=0 là \(\overrightarrow {n’} = (2; – 1;3).\)

Vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của mặt phẳng cần tìm là :

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow j ,\overrightarrow {n’} } \right] = \left( {\left| \matrix{ 1 \hfill \cr – 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 0 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 0 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 0 \hfill \cr 2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 0 \hfill \cr 2 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 1 \hfill \cr – 1 \hfill \cr} \right|} \right) \)

\(= (3;0; – 2).\)

Vậy phương trình của nó là :

\(3x-2z-2=0.\)

h) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {\alpha ‘} \right)\) có vec tơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2;1;2),\overrightarrow {n{‘_\alpha }} = (3;2;1).\)

Mặt phẳng cần tìm vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {\alpha ‘} \right)\) nên có vec tơ pháp tuyến là