Bài 3 trang 43 SGK Giải tích 12 - Môn Toán - Tìm đáp án, giải bài tập,

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:2696

LG a

\(\displaystyle {{x + 3} \over {x – 1}}\),

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:

*) Xét chiều biến thiên của hàm số:

+) Tính đạo hàm.

+) Tìm các điểm \({{x}_{i}}\) mà tại đó đạo hàm có \(y’=0\) hoặc đạo hàm không xác định.

+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

*) Tìm cực trị: \(y\left( {{x}_{i}} \right).\)

*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y,…\)

*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(x=0\Rightarrow y=….\Rightarrow A\left( 0;\ ….. \right).\)

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(y=0\Rightarrow x=…..\Rightarrow B\left( …;0 \right).\)

+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định : \(\displaystyle \mathbb R{\rm{\backslash \{ }}1\}\);

* Sự biến thiên:

Ta có: \(\displaystyle y’ = {{ – 4} \over {{{(x – 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\) ;

– Hàm số nghịch biến trên khoảng: \(\displaystyle (-\infty;1)\) và \(\displaystyle (1;+\infty)\).

– Cực trị:

Hàm số không có cực trị.

– Tiệm cận:

\(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ – }} = – \infty \), \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = +\infty\); \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1\)

Do đó, tiệm cận đứng là: \(\displaystyle x = 1\); tiệm cận ngang là: \(\displaystyle y = 1\).

Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

Đồ thị nhận điểm \(\displaystyle I(1;1)\) làm tâm đối xứng.

Đồ thị giao trục tung tại:\(\displaystyle (0;-3)\), trục hoành tại \(\displaystyle (-3;0)\)

LG b

\(\displaystyle {{1 – 2{\rm{x}}} \over {2{\rm{x}} – 4}}\),

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:

*) Xét chiều biến thiên của hàm số:

+) Tính đạo hàm.

+) Tìm các điểm \({{x}_{i}}\) mà tại đó đạo hàm có \(y’=0\) hoặc đạo hàm không xác định.

+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

*) Tìm cực trị: \(y\left( {{x}_{i}} \right).\)

*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(x=0\Rightarrow y=….\Rightarrow A\left( 0;\ ….. \right).\)

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(y=0\Rightarrow x=…..\Rightarrow B\left( …;0 \right).\)

+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định : \(\displaystyle \mathbb R \backslash {\rm{\{ }}2\} \);

* Sự biến thiên:

Ta có: \(\displaystyle y’ = {6 \over {{{\left( {2{\rm{x}} – 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2\)

– Hàm số đồng biến trên khoảng: \(\displaystyle (-\infty;2)\) và \(\displaystyle (2;+\infty)\)

– Cực trị:

Hàm số không có cực trị.

– Tiệm cận:

\(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ – }} = + \infty \), \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ + }} = – \infty \), \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = – 1\)

Do đó, tiệm cận đứng là: \(\displaystyle x = 2\); tiệm cận ngang là:\(\displaystyle y = -1\).

Bảng biến thiên :

* Đồ thị:

Đồ thị nhận điểm \(\displaystyle I(2;-1)\) lầm tâm đối xứng.

Đồ thị giao trục tung tại: \(\displaystyle \left( {0; – {1 \over 4}} \right)\), trục hoành tại: \(\displaystyle \left( {{1 \over 2};0} \right)\)

LG c

\(\displaystyle {{ – x + 2} \over {2{\rm{x}} + 1}}\)

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:

*) Xét chiều biến thiên của hàm số:

+) Tính đạo hàm.

+) Tìm các điểm \({{x}_{i}}\) mà tại đó đạo hàm có \(y’=0\) hoặc đạo hàm không xác định.

+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

*) Tìm cực trị: \(y\left( {{x}_{i}} \right).\)

*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(x=0\Rightarrow y=….\Rightarrow A\left( 0;\ ….. \right).\)

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(y=0\Rightarrow x=…..\Rightarrow B\left( …;0 \right).\)

+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định : \(\displaystyle R\backslash \left\{ { – {1 \over 2}} \right\}\);

Sự biến thiên:

Ta có: \(\displaystyle y’ = {{ – 5} \over {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne – {1 \over 2}\)

– Hàm số nghịch biến trên khoảng: \(\displaystyle (-\infty;{-1\over 2})\) và \(\displaystyle ({-1\over 2};+\infty)\)

– Cực trị:

Hàm số không có cực trị.

– Tiệm cận:

\(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to – {{{1 \over 2}}^ – }} = – \infty \), \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to – {{{1 \over 2}}^ + }} = + \infty \), \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = – {1 \over 2}\)

Do đó, tiệm cận đứng là: \(\displaystyle x = – {1 \over 2}\); tiệm cận ngang là: \(\displaystyle y = – {1 \over 2}\).

Bảng biến thiên :