50 bài tập trắc nghiệm Khái niệm về thể tích của khối đa diện (có đáp án)

Toptailieu.vn xin giới thiệu 50 bài tập trắc nghiệm Khái niệm về thể tích của khối đa diện (có đáp án) chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 12 ôn luyện kiến thức để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Câu 1:Cho khối chóp S.ABC với SA ⊥ SB , SB ⊥ SC , SC ⊥SA . Biết độ dài SA, SB, SC lần lượt là 3, 5, 6. Thể tích của khối chóp đó bằng:

A. 20

B. 10

C. 15

D. 30

Lời giải:

Đáp án cần chọn là:C

Câu 2:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài đường cao không đổi thì thể tích S.ABC tăng lên bao nhiêu lần?

A.4 .

B.2 .

C.3 .

D.1/2 .

Lời giải:

Khi độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần.

⇒ Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần.

Đáp án cần chọn là:A

Câu 3:Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . V1 là thể tích của tứ diện A’ABD . Hệ thức nào sau đây là đúng ?

A. V = 6V1

B. V = 4V1

C. V = 3V1

D. V = 2V1

Lời giải:

Đáp án cần chọn là:A

Câu 4:Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,  = 120° và AA’ = 7a/2 . Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’.

A. V = 12a3

B. V = 3a3

C. V = 9a3

D. V = 6a3

Lời giải:

Đáp án cần chọn là:B

Câu 5: Cho khối chóp S.ABC. Lấy A’, B’ lần lượt thuộc SA, SB sao cho 2SA’ = 3A’A, 3SB’ = B’B. Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp S.A’B’C và S.ABC là:

A.3/20

B.2/15

C.1/6

D.3/10

Lời giải:

Đáp án cần chọn là:A

Câu 6: Hình chóp S.ABC có đáy SA vuông góc với đáy, SA=A, AC=a√2, AB = 3a. Gọi M, N là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC.

A.1/√30

B.1/3

C.1/30

D.1/2

Lời giải:

∆SAC vuông tại A, có AN ⊥ SC tại N nên:

Tương tự, ta có:

Đáp án cần chọn là:C

Câu 7: Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD đôi một vuông góc với nhau. BA = 3a, BC = BD = 2a. Gọi M, B lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính thể tích khối chóp C.BDNM.

A.8a3

B.(2a3)/3

C.a3

D.(3a3)/2

Lời giải:

Đáp án cần chọn là:D

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm của SB và G là trọng tâm của tam giác SBc. Gọi V, V’ lần lượt là thể tích các khối chóp M.ABC và G.ABD. Tính tỉ số V/V’

A.3/2

B.4/3

C.5/3

D.2

Lời giải:

Gọi I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, G lên mặt phẳng (ABCD).

Ta có MI // GJ

Do các tam giác ABC và ADB có cùng diện tích nên tỉ số thể tích giữa các khối chóp M.ABC và G.ABD là tỉ số đường cao của chúng

Đáp án cần chọn là:A

Câu 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của SA, SB.

A.1/2

B.3/8

C.5/8

D.1/4

Lời giải:

Đáp án cần chọn là:B

Câu 10: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

A.1/6

B.1/9

C.1/12

D.1/3

Lời giải:

Áp dụng công thức thể tích, ta có:

Đáp án cần chọn là:D

Câu 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AA’ = a. Tam giác ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của AA’. Tìm mệnh đề đúng.

Lời giải:

Ta có:

Đáp án cần chọn là:C

Câu 12: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB=√3; AD=√7. Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 45º và 60º. Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.

A. 3

B. 2

C. 4

D. 8

Lời giải:

Kẻ A’ H ⊥ (ABCD); HM ⊥ AB; HN ⊥ AD

Ta có: A’ H ⊥ AB; HM ⊥ AB ⇒ (A’ MH) ⊥ AB

⇒ A’M ⊥ AB

Khi đó, góc giữa mặt phẳng (ABB’A’) và (ABCD) là góc giữa A’M và MH

⇒ ∠(A’MH)=45º

Tương tự, ta có: góc giữa mặt phẳng (ABD’A’) và (ABCD) là góc giữa A’N và NH

⇒ ∠(A’NH)=60º

Đặt A’H = x .Khi đó :

Xét tam giác ANA’vuông tại N có :

Xét tam giác A’HM vuông tại H có : HM=A’ H.tan⁡∠(A’MH) =x.tan⁡45º =x

Mà AN = HM (ANHM là hình chữ nhật)

Đáp án cần chọn là:A

Câu 13. Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA= 4; AB= 6; BC= 10 và CA= 8. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. V= 40

B. V= 96

C. V= 32

D. V= 64

Lời giải:

Ta có: AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100= BC2

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Do đó diện tích tam giác ABC là: 

Vậy thể tích hình chóp S.ABC là: 

Đáp án cần chọn là:C

Câu 14. Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), ABC là tam giác vuông cân tại A, BC= 2a, góc giữa SB và (ABC) là 30o . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải:

+ Ta có AB là hình chiếu của SB lên (ABC) suy ra góc giữa SB và (ABC) là góc 

+ Tam giác ABC vuông cân tại A, BC= 2a 

+ Xét tam giác SAB vuông tại A có 

Ta có diện tích đáy ABC là: 

Vậy thể tích hình chóp là: 

Đáp án cần chọn là:A

Câu 15: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a ,, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng ( SBC) tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

+ Ta có diện tích hình chữ nhật ABCD là: 

Lại có: mặt phẳng ( SBC) tạo với đáy một góc 

+ Xét tam giác vuông SAB vuông tại A có:

Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là: 

Đáp án cần chọn là:A

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D có AB= 2AD= 2CD, SA vuông góc với đáy (ABCD). Góc giữa SC và đáy bằng 60o . Biết khoảng cách từ B đến (SCD) là . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Trong mp (SAD) dựng 

+ Ta có AB // CD nên AB// ( SCD) nên 

Đặt 

+ Do  và góc giữa SC và (ABCD) là 60o nên:

Mặt khác 

* Diện tích hình thang ABCD: 

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: 

Đáp án cần chọn là:C

Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có SA= a và vuông góc với đáy ABC. Biết rằng tam giác ABC đều và mặt phẳng (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 30o. Tính thể tích V của khối chó S.ABC

Lời giải:

Gọi I là trung điểm BC. Do tam giác ABC đều nên

* Hai tam giác ∆SAB =∆SAC nên SB= SC

=> Tam giác SBC cân tại S. Lại có SI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: 

*Xét tam giác ABC đều có : 

Do đó, diện tích tam giác ABC là : 

* Thể tích khối chóp S.ABC là : 

Đáp án cần chọn là:A

Câu 18. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S. ABC.

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của AB.

Tam giác ABC đều độ dài cạnh 2a nên diện tích tam giác ABC là:

+ Thể tích hình chóp S.ABC là:

Đáp án cần chọn là:B

Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Biết  và góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 30o . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm AB.

Do tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) nên 

Khi đó, hai tam giác vuông : ∆SIC= ∆SID ( c.g.c)

Do góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 300 nên 

Từ đó, diện tích hình chữ nhật ABCD là : 

Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là 

Đáp án cần chọn là:D

Câu 20. Cho hình chóp S. ABC có SA= a, tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

Lời giải:

Tam giác SAB vuông cân tại S và SA= a nên 

+ Gọi M là trung điểm AB suy ra (SM là đường trung tuyến của tam giác SAB vuông cân tại S).

Mặt khác:

Suy ra SM là đường cao của hình chóp S. ABC ứng với đáy là tam giác ABC.

+Tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh là  nên diện tích tam giác ABC là:

+ Thể tích khối chóp S.ABC là 

Đáp án cần chọn là:C

Câu 21. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAD cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa (SBC) và mặt đáy bằng 60o . Tính thể tích S.ABCD bằng:

Lời giải:

Gọi H là trung điểm AD.

+ Ta có:

Do ABCD là hình vuông cạnh 2a nên 

+ Tam giác SBC cân tại S 

Mà  góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa hai đường thẳng HM và SM chính là góc . Theo bài ra có .

Vậy thể tích S.ABCD: 

Đáp án cần chọn là:B

Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều; mặt bên (SAB) nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác SAB vuông tại S,, SB= a. Tính thể tích khối chóp S. ABC.

Lời giải:

+ Do tam giác SAB vuông tại S nên có 

Và 

+ Dựng , xét tam giác SAH có 

Do 

+ Dựng ,do tam giác ABC đều nên AK là trung trực và có 

Có

Đáp án cần chọn là:C

Câu 23. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, tất cả các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o. Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

Lời giải:

Gọi H là giao điểm của AC và BD

+ Do S.ABCD là hình chóp đều nên SH⊥(ABCD)

+ Theo giả thiết, các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60o nên ta có

+ Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên AC=BD=

Trong tam giác HBS ta có 

+ Diện tích đáy ABCD là SABCD = a2

Thể tích khối chóp 

Đáp án cần chọn là:D

Câu 24. Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích chóp đều SABC .

Lời giải:

Dựng SO⊥(ABC).Ta có SA = SB = SC= 2a suy ra OA = OB = OC

Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.

Ta có tam giác ABC đều nên

Xét tam giác SAO vuông tại O ta có:

Tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên diện tích tam giác ABC là: 

Vậy thể tích hình chóp S. ABC là:

Đáp án cần chọn là:A

Câu 25. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60o. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm CD.

+ Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO là đường cao hình chóp, góc  là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp.

+ Xét tam giác ACD có M và O lần lượt là trung điểm của CD và CA nên MO là đường trung bình của tam giác.

Đáp án cần chọn là:A

Câu 26.Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB= a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với (ABC) lấy điểm D sao cho CD= a. Mặt phẳng (α) qua C và vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Thể tích khối tứ diện CDEF giá trị nào sau đây?

Lời giải:

+ Ta có 

Lại có 

Từ (1) và (2), suy ra 

+ Trong tam giác DCB, ta có 

Tương tự, ta cũng có 

Áp dụng công thức 

Suy ra 

Đáp án cần chọn là:C

Câu 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B, AB= a, SA= 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H; K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Tính thể tích khối tứ diện S.AHK.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông cân tại B, ta có

Xét tam giác SAB vuông tại A, ta có

Xét tam giác SAC vuông tại A, ta có:

Ta có  nên

Ta có  nên

Thể tích khối chóp S. ABCD là

Ta có tỉ số

Đáp án cần chọn là:B

Câu 28. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, BA= BC= 1; AD= 2. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tính thể tích của khối đa diện S. AHCD.

Lời giải:

Tam giác vuông SAB, có 

Gọi M là trung điểm AD. Tứ giác ABCM là hình vuông nên 

Tam giác ACD có đường trung tuyến CM bằng nửa cạnh tương ứng AD nên tam giác này vuông tại C.

Ta có VS.AHCD = VS.ACD + VS.AHC

+ Ta có: SH.SB=SA2 nên 

Vậy 

Đáp án cần chọn là:B

Câu 29. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 45o. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB và AB. Tính thể tích V của khối tứ diện DMNP.

Lời giải:

Ta có: 

Tương tự, 

Suy ra (có thể khẳng định  nhờ hai tam giác MNP và BAS là hai tam giác đồng dạng với tỉ số k=1/2).

Do đó 

Đáp án cần chọn là:A

Câu 30. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng 2a, góc giữa hai hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 45o. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB và AB. Tính thể tích V khối tứ diện D.MNP.

Lời giải:

Ta có 

Tương tự 

Suy ra ( có thể khẳng định  là do hai tam giác MNP và BAS đồng dạng với tỉ số k=1/2).

Đáp án cần chọn là:A

Câu 31. Cho hình chóp tam giác S.ABC có ; SA= SB= SC =2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải:

+ Tam giác SAB có SA= SB nên tam giác này là tam giác cân. Mà  nên tam giác SAB là tam giác đều => AB=2a.

+ Tương tự tam giác SBC là tam giác đều nên BC= 2a,

+ Tam giác SAC là tam giác vuông tại S nên ta có:

Xét tam giác ABC có: AB2 + BC2 = AC2 =8a2

Suy ra tam giác ABC vuông tại B.

+ Gọi H là trung điểm của AC

=> HA= HB= HC.

Lại có SA= SB= SC ( giả thiết)

Do đó, 

+ Ta có: 

Diện tích tam giác ABC là 

Thể tích hình chóp S. ABC là: 

Đáp án cần chọn là:C

Câu 32: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V. Lấy điểm A’ trên cạnh SA sao cho SA’=1/2SA . Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Khi đó thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ bằng:

A. V/3

B. V/9

C. V/27

D. V/81

Lời giải:

Gọi thể tích 

Với  h là chiều cao hính chóp S.ABCD

Đáp án cần chọn là:C

Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo  và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

+ Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có:

+ Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có:

hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB).

Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao

Diện tích đáy SABCD = 4SABO = 2. OA. OB = 

Đường cao của hình chóp là SO=a/2

Thể tích khối chóp S.ABCD: 

Đáp án cần chọn là:C

Câu 34. Cho hình hình chóp S.ABCD có cạnh SA=3/4, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích khối chóp S. ABCD

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Tam giác SBD cân tại S( SB= SD), có SO là đường trung bình nên 

Đặt AC= 2x.

Ta có SO2 = SB2 – OB2 = AB2 – OB2 = OA2 = x2

Áp dụng công thức đường trung tuyến:

=> Tam giác SAC vuông tại S.

+) Kẻ

Do 

Khi đó, thể tích hình chóp S.ABCD là:

Đáp án cần chọn là:C

Câu 35. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H trên cạnh BC sao cho  hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích của khối chóp S.ABC

Lời giải:

Ta có: 

Xét tam giác AHB,áp dụng định lí cosin trong ta có:

AH2 = AB2 + BH2 – 2AB.BH.cos

Xét tam giác SAH vuông tại H có:

Do tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên diện tích tam giác ABC là: 

Vậy thể tích hình chóp S. ABC là: 

Đáp án cần chọn là:B

Câu 36: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AA’ = a. Tam giác ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của AA’. Tìm mệnh đề đúng.

Lời giải:

Ta có:

Đáp án cần chọn là:C

Câu 37: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB=√3; AD=√7. Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 45º và 60º. Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.

A. 3

B. 2

C. 4

D. 8

Lời giải:

Kẻ A’ H ⊥ (ABCD); HM ⊥ AB; HN ⊥ AD

Ta có: A’ H ⊥ AB; HM ⊥ AB ⇒ (A’ MH) ⊥ AB

⇒ A’M ⊥ AB

Khi đó, góc giữa mặt phẳng (ABB’A’) và (ABCD) là góc giữa A’M và MH

⇒ ∠(A’MH)=45º

Tương tự, ta có: góc giữa mặt phẳng (ABD’A’) và (ABCD) là góc giữa A’N và NH

⇒ ∠(A’NH)=60º

Đặt A’H = x .Khi đó :

Xét tam giác ANA’vuông tại N có :

Xét tam giác A’HM vuông tại H có : HM=A’ H.tan⁡∠(A’MH) =x.tan⁡45º =x

Mà AN = HM (ANHM là hình chữ nhật)

Đáp án cần chọn là:A

Câu 38. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC= và biết A’B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

+ Do tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A có BC= Nên AB= AC= a.

+ Do ABC. A’B’C’ là lăng trụ đứng 

Xét tam giác vuông AA’B ta có:

AA’2 = A’B2 – AB2 = 9a2 – a2 = 8a2

=>

Diện tích tam giác ABC là:

+ Thể tích hình lăng trụ đã cho là:

Đáp án cần chọn là:A

Câu 39. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này.

A. 6a3

B. 12a3

C. 18a3

D. 24a3

Lời giải:

+ Do ABCD. A’B’C’D’ là lăng trụ đứng có cạnh bên là 4a nên AA’= BB’= CC’= DD’= 4a . Đường chéo của hình lăng trụ là BD’ = 5a.

+ Tam giác BDD’ vuông tại D nên:

BD2 = BD’2 – DD’2 = 25a2 – 16a2 = 9a2

=> BD = 3a

+ Tứ giác ABCD là hình vuông nên 

Suy ra, diện tích hình vuông ABCD là 

Vậy thể tích hình lăng trụ là: V= SABCD. AA’ =

Đáp án cần chọn là:C

Câu 40. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm BC.

Do tam giác ABC là tam giác đều nên AI= AB. sin B = 4. sin60o = và AI⊥BC

Mà AA’⊥BC nên A’I⊥BC( định lí ba đường vuông góc)

Diện tích tam giác A’BC là:

Xét tam giác AA’I vuông tại A ta có:

Diện tích tam giác ABC là:

Thể tích hình lăng trụ là:

Đáp án cần chọn là:D

Câu 41. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc . Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp .

Lời giải:

* Tam giác ABD cân tại A( vì AB = AD)

Lại có: nên tam giác ABD là tam giác đều cạnh a => BD = a

* Diện tích tam giác ABD là 

=> 

+ Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Theo đề bài BD’= AC

* Xét tam giác vuông BDB’ có:

Vậy thể tích của hình hộ đã cho là;

Đáp án cần chọn là:B

Câu 42: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A’B hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ.

Lời giải:

Ta có: 

Lại có AB là hình chiếu của A’B trên mặt phẳng (ABC)

Suy ra, góc giữa đường thẳng A’B và mp(ABC) bằng góc 

Xét tam giác vuông ABA’ có:

Diện tích tam giác ABC là:

Vậy thể tích của lăng trụ đã cho là:

Đáp án cần chọn là:B

Câu 43. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a, ; biết BC’ hợp với (AA’C’C) một góc 30o. Tính thể tích lăng trụ.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A có AB= AC.tan60o=

Ta có:

nên AC’ là hình chiếu của BC’ trên (AA’C’C).

Vậy góc ( BC’; (AA’C’C))== 30o

Xét tam giác AC’B có 

Diện tích tam giác ABC là: 

Xét tam giác AA’C’ có: 

Do đó, thể tích của khối lăng trụ đã cho là:

Đáp án cần chọn là:A

Câu 44. Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD’ của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 30o. Tính thể tích của lăng trụ .

Lời giải:

Ta có ABCD.A’B’C’D’ là lăng trụ đứng nên ta có: 

Do đó, BD là hình chiếu của BD’ trên (ABCD).

Tam giác ABD vuông cân tại A có AB = AD= a nên 

Xét tam giác vuông BDD’ có: 

Diện tích hình vuông ABCD là SABCD = a2

Thể tích của hình lăng trụ đã cho là:

Đáp án cần chọn là:B

Câu 45: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và , biết AB’ hợp với đáy (ABCD) một góc 30o. Tính thể tích của hình hộp.

Lời giải:

Do ABCD là hình thoi nên AB= AD. Suy ra, tam giác ABD cân tại A.

Lại có:  nên tam giác ABD là tam giác đều cạnh a.

Diện tích tam giác ABD là:

Suy ra, diện tích hình thoi ABCD là: 

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp đứng nên BB’⊥AB

Xét tam giác ABB’ ta có: 

Thể tích hình hộp đã cho là: 

Đáp án cần chọn là:C

Câu 46. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a , biết (A’BC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o .Tính thể tích lăng trụ.

 

Lời giải:

Ta có: 

Lại có, hai mặt phẳng ( A’BC) và (ABC) cắt nhau theo giao tuyến BC nên góc giữa hai mặt phẳng ( A’BC) và ( ABC) là góc 

Diện tích đáy ABC là: 

Xét tam giác vuông AA’B có AA’=AB.tan60o= 

Do đó, thể tích của hình lăng trụ đã cho là: 

Đáp án cần chọn là:D

Câu 47. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều . Mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 30o và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của BC

Do tam giac ABC là tam giác đều nên AI⊥BC( 1)

Lại có; 

Từ ( 1) và (2) suy ra: A’I⊥BC( định lí 3 đường vuông góc)

Lại có, giao tuyến của 2 mp (A’BC) và (ABC) là BC. Do đó, góc giữa hai mặt phẳng ( A’BC) và ( ABC) là góc 

Đặt BI= x 

Xét tam giác A’AI có: 

AA’ = AI. tan 30o = x

Mà SA’BC == x. 2x = 8 => x = 2

Khi đó, đáy ABC là tam giác đều cạnh BC= 2BI = 4 nên diện tích đáy là: 

Thể tích hình lăng trụ đã cho là: 

Đáp án cần chọn là:A

Câu 48.Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. A’B’C’D’ có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC’) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật đã cho?

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Do ABCD là hình vuông nên OC⊥BD(2)

Từ (1) và (2) suy ra: C’O⊥BD( định lí ba đường vuông góc).

Mà mặt phẳng ( BDC’) cắt mp(ABCD) theo giao tuyến BD nên góc giữa hai mặt phẳng này là góc 

Do ABCD là hình vuông cạnh a nên 

Xét tam giác OCC’ vuông tại C có 

Diện tích hình vuông ABCD là: SABCD = a2.

Thể tích hình lăng trụ đã cho là 

Đáp án cần chọn là:C

Câu 49.Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AA’ = 2a; mặt phẳng (A’BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o và A’C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o . Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

Vì

 

Lời giải:

Vì 

Ta có: 

Lại có, hai mặt phẳng (A’BC) và ( ABCD) cắt nhau theo giao tuyến BC nên góc giữa hai mp(A’BC) và (ABCD) là góc 

Hình chiếu của A’C trên (ABCD) là AC nên góc giữa A’C và mp(ABCD) là góc 

Xét tam giác A’AC vuông tại A có: AC= AA’. cot30o= 

Xét tam giác A’AB có: AB= AA’.cot60o = 

Xét tam giác ABC có: 

Thể tích khối hình hộp chữ nhật đã cho là:

Đáp án cần chọn là:A

Câu 50.Cho hình lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có ; BC= a;,đường thẳng B’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc α thỏa mãn sin α=1/4. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là :

Lời giải:

+ Diện tích tam giác ABC là:

+ Kẻ CH⊥AB

Lại có: 

=>B’H là hình chiếu vuông góc của B’C lên (ABB’A’).

=> ( B’C; (ABB’A’))= (B’C; B’H) = 

+ Áp dụng định lí co-sin vào tam giác ABC ta có:

+ Diện tích tam giác ABC là :

Xét tam giác vuông 

Do đó thể tích của khối lăng trụ đã cho

Đáp án cần chọn là:A