4.2 Các khái niệm: Tập hợp phẳng, tập hợp mở, tập hợp đóng | Môn: Giải tích

a)Tập hợp phẳng (tập phẳng) là tập các điểm cùng nằm trong một mặt phẳng.

Một tập phẳng được gọi là tập giới nội (hay tập bị chặn) nếu tồn tại một mặt tròn chứa nó.

Chú ý. Miền xác định của hàm $z=f(x,y)$ là một tập phẳng nằm trong mặt phẳng $Oxy$.

Ví dụ 4. Miền xác định của hàm số $z=\sqrt{1-x^{2} -y^{2} } $ là tập phẳng giới nội $D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} |x^{2} +y^{2} \le 1\right\}$ (hình tròn tâm $O(0,0)$ bán kính $r=1$) nằm trong mặt phẳng $Oxy$.

b) Tập hợp mở, tập hợp đóng

Ta gọi $\delta$-lân cận của điểm $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ trong mặt phẳng là tập tất cả những điểm $M(x,y)$ của mặt phẳng sao cho khoảng cách $M_{0} M<\delta $ (là phần trong của mặt tròn tâm $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ bán kính $\delta $).

Lân cận của $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$ là mọi tập hợp chứa một $\delta$-lân cận của điểm $M_{0} (x_{0} ,y_{0} )$

Xét tập $E\subset \mathbb{R}^{2} $:

– Điểm $M$ của $E$ được gọi là điểm trong của $E$ nếu tồn tại một lân cận nào đó của nó nằm hoàn toàn trong $E$.

– Tập $E$ được gọi là tập mở (hở) nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.

– Điểm $N$ được gọi là điểm biên của $E$ nếu mọi lân cận của nó vừa chứa những điểm thuộc $E$ vừa chứa những điểm không thuộc $E$ (điểm biên của một tập hợp có thể thuộc tập hợp ấy cũng có thể không thuộc tập hợp ấy).

– Tập tất cả những điểm biên của $E$ được gọi là biên của $E$, kí hiệu $\partial E$.

– Tập $E$ được gọi là tập đóng (kín) nếu nó chứa mọi điểm biên của nó (nghĩa là: biên của $E$ là một bộ phận của $E$).

Ví dụ 5. Miền xác định của hàm số $z=\sqrt{1-x^{2} -y^{2} } $  là tập đóng.

Miền xác định của hàm số $z=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2} -y^{2} }}$ là tập mở.

Tìm tập xác định của hàm số hai biến