Hướng dẫn HS lớp 8 Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (84.25 KB, 4 trang )

Kinh nghiệm: “Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán bằng cách lạp phơng trình”
A- Đặt vấn đề:
Trong chơng trình toán 8, dạng toán: “Giải bài toán bằng cách lập phơng trình” tuy chỉ đợc
phân phối trong một thời lợng học không nhiều so với các dạng toán khác, song nó đóng một
vai trò không kém phần quan trọng vì ngoài việc nó tổng hợp đợc các kỷ năng t duy, suy luận
diễn dịch từ các bài toán thực tế sang bài toán đại số cơ bản, dạng bài toán này còn làm cơ sở
lập luận để giúp học sinh giải các bài toán hoá học, là tiền đề kiến thức cho khi học lên lớp
9 không bở ngỡ, lúng túng khi giải dạng toán: “Giải bài toán lập phơng trình và lập hệ phơng
trình” một trong những nội dung quan trọng trong chơng trình toán 9. Thế nhng đối với học
sinh thì phần lớn rất lúng túng khi gặp loại toán này, đặc biệt là quá trình suy luận để thiết
lập phơng trình.
Qua quá trình giảng dạy và đã từng gặp phải vấn đề này, tôi đã suy nghĩ tìm tòi, học hỏi,
mạnh dạn thử nghiệm trong cách dạy và đã rút ra đợc kinh nghiệm về phơng pháp dạy bài
toán: ” Giải bài toán bằng cách lập phơng trình”
B- Nội dung:
Tất cả các bài toán này đều mang tính thực tế rất cao, nó mang ngôn ngữ thực tế nên ng ời
giải cần phải biết chuyển ngôn ngữ thực tế sang ngôn ngữ đại số. Nghĩa là biểu thị các đại lợng trong bài toán theo ẩn số và các ẩn số đã biết rồi thiết lập phơng trình qua mối liên hệ
giữa các đại lợng trong bài toán.
Khi giải cần đọc kỷ bài ra và xác định đợc đại lợng cần tìm, đại lợng liên quan, mối liên
hệ giữa các đại lợng để chọn ẩn hợp lý từ đó thiét lập phơng trình thích hợp nhất.
Trong quá trình giảng dạy, tôi phân thành các loại bài toán cơ bản để giúp học sinh tìm
tính tơng tự trong các bài toán từ đó các em dễ dàng khái quát cách giải.
Sau đây, tôi xin nêu một số vị dụ minh hoạ cho kinh nghiệm nói trên
Ví dụ: Vừa gà, vừa chó, bó lại cho tròn, 36 con, 100 chân chẵn. Hỏi có mấy con gà, mấy
con chó?
Hớng dẫn học sinh phân tích đề bài (phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thờng sang
ngôn ngữ đại sô)
Bằng ngôn ngữ thông thờng
Bằng ngôn ngữ đại số
Có mấy con gà? (số cha biết, số phải tìm)
x

Mấy con chó?
36 – x
Số chân gà?
2x
Số chân chó
4(36 – x)
Tổng số chân gà và chân chó?
2x + 4(36 – x) = 100
Ta có phơng trình: 2x + 4(36 – x) = 100
Giải phơng trình ta đợc: x = 22 (thoả mãn bài toán)
Vậy số gà là 22 con, số chó là 14.
– Phân tích, tìm lời giải cho bài toán là phân tích và phiên dịch bài toán về dạng ngôn đại
số. Các bài toán đợc phân thành hai dạng cơ bản: toán bậc nhất và toán bậc hai (lớp 9). ở
mỗi dạng phân thành các loại bài: toán tìm số, toán năng suất (cùng làm một công việc), toán
hình học, toán chuyển động, toán tăng trởng và các loại khác. Mỗi loại có những đặc điểm
riêng cần chú ý khi giải bài toán tơng tự.
1) Bài toán tìm số
Bài toán 1: Một số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn
vị. Nếu đổi chổ hai chữ số đó cho nhau thì đợc một số nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị. Tìm số
đó.
Phân tích, tìm lời giải

Kinh nghiệm: “Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán bằng cách lạp phơng trình”
Ngôn ngữ thông thờng
Ngôn ngữ đại số
Chữ số hàng đợn vi?
x (x N, 0 < x 3)
Chữ số hàng chục?
3x

Số đã cho
10.3x + x
Số viết ngợc lại
10x + 3x
Số này nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị
10. 3x + x – 18 = 10x + 3x
Ta có phơng trình: 10. 3x + x – 18 = 10x + 3x
Giải phơng trình ta đợc x = 1 (thoả mãn bài toán)
Vậy số cần tìm là 13
2) Bài toán năng suất:
Bài toán 2: Một phân xởng may lập kế hoạch may một lô hàng, theo đó mỗi ngày phân xởng phải may xong 90 áo. Nhng nhờ cải tiến kỷ thuật, phân xởng đã may đợc 120 áo mỗi
ngày. Do đó, phân xởng không những đã hoàn thành kế hoạch trớc thời hạn 9 ngày mà còn
may thêm đợc 60 áo. Hỏi theo kế hoạch, phân xởng phải may bao nhiêu áo?
Phân tích, tìm lời giải
Ngôn ngữ thông thờng
Ngôn ngữ đại số
Số ngày may theo kế hoạch?
x ( x > 9)
Tổng số áo may theo kế hoạch
90x
Số ngày phân xởng thực hiện kế hoạch
x-9
Số áo may đợc (may vợt kế hoạch)
120(x – 9)
Số áo may đợc nhiều hơn so với kế hoạch là
60 áo
120(x – 9) = 90x + 60
Ta có phơng trình: 120(x – 9) = 90x + 60
Giải phơng trình ta đợc x = 38 (thoả mãn bài toán)
Vậy số áo may theo kế hoạch là 38 ì 90 = 3420 (áo).

Bài toán 3: Hai công nhân nếu làm chung thì 12 giờ hoàn thành công việc. Họ làm chung
với nhauv trong 4 giờ thì ngời thứ nhất chuyển đi làm việc khác, ngời thứ hai làm nốt phần
công việc còn lại trong 10 ngày. Hỏi ngời thứ hai làm một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn
thành công việc đó?
Ngôn ngữ thông thờng
Ngôn ngữ đại số
x
(x>
0)
Số ngày ngời thứ hai làm xong công việc (1 công việc)
1
(Năng suất ngời thứ hai làm trong 1 ngày)
Trong 10 ngày ngời thứ 2 làm đợc
(Năng suất cả hai ngời cùng làm trong 1 ngày)
Hai ngời cùng làm trong 4 ngày

x
10
x
1
12

4.

1
12

Ngời thứ hai làm nốt công việc trong 10 ngày thì xong 1 công việc
công việc
Ta có phơng trình: 4.

1 10
+
=1
12
x

Giải phơng trình ta đợc x = 15 (thoả mãn bài toán)
Vậy một mình ngời thứ hai làm xong công việc trong 15 ngày.
* Đối với bài toán năng suất, ta chú ý đến quan hệ giữa công việc, năng suất và thời gian.
Trong đó: Năng suất = Công việc / Thời gian làm việc

Kinh nghiệm: “Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán bằng cách lạp phơng trình”
3) Bài toán hình học:
Bài toán 4: Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Ngời ta làm một lối đi xung
quanh khu vờn đó, có chiều rộng 2 m. Tính các kích thớc của vờn, biết rằng phần đất còn lại
trong vờn để trồng trọt là 4256 m2
Phân tích, tìm lời giải
Ngôn ngữ thông thờng
Ngôn ngữ đại số
Chiều dài một cạnh của vờn?
x mét ( 0 < x < 140)
Chiều dài cạnh kia
(140 – x) mét
Chiều dài hai cạnh phần đất trồng trọt
(x – 4) mét và (140 – x – 4) mét
Diện tích phần đất còn lại trồng trọt là
(x – 4) (140 – x- 4) = 4256
Ta có phơng trình: (x – 4) (140 – x- 4) = 4256

Giải phơng trình ta đợc x = 80, x = 60 ( đều thoả mãn điều kiện của ẩn)
Vậy một cạnh của vờn là 80 mét, cạnh còn lại là 60 mét.
4) Bài toán chuyển động:
Bài toán 5: Một ngời đi xe đạp từ A đến B. Lúc đầu, trên đoạn đờng đá, ngời đó đi với vận
tốc 10km/h. Trên đoạn đờng còn lại là đờng nhựa, dài gấp rỡi đoạn đờng đá, ngời đó đi với
vận tốc 15 km/h. Sau 4 giờ ngời đó đến B. Tính độ dài quảng đờng AB.
Phân tích, tìm lời giải
Ngôn ngữ thông thờng
Ngôn ngữ đại số
Quảng đờng AB dài bao nhiêu?
x (km)
(x > 0)
2
Đoạn đờng đá dài bao nhiêu?
x (km)
Đoạn đờng nhựa dài bao nhiêu?
Thời gian đi hết đoạn đờng đá
Thời gian đi hết đoạn đờng nhựa
Tổng thời gian đi hết đoạn đờng AB
2
5

5
3
x(km)
5
2
x: 10
5
3

x: 15
5
2
3
( x: 10) + ( x: 15) = 4
5
5

3
5

Ta có phơng trình: ( x: 10) + ( x: 15) = 4
Giải phơng trình ta đợc: x = 50 (thoả mãn điều kiện của ẩn)
Vậy quảng đờng AB dài 50 km
* – Đối với bài toán chuyển động, ta chú ý đến ba đại lợng: quảng đờng (S), vận tốc (V),
thời gian (t). Trong đó: S = v.t
5) Các loại khác:
Bài toán 6: Cho một lợng dung dịch chứa 10% muối, Nếu pha thêm 200 gam nớc thì đợc
một dung dịch 6%. Hỏi có bao nhiêu gam dung dịch đã cho?
Phân tích, tìm lời giải
Ngôn ngữ thông thờng
Ngôn ngữ đại số
Có bao nhiêu gam dung dịch đã cho
x (x > 0)
10x
Chứa 10% muối
Thêm 200 gam nớc

100

x + 200

Kinh nghiệm: “Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán bằng cách lạp phơng trình”
Đợc dung dịch
Phơng trình:

10x
6
=
(x + 200)
100 100

10x
6
=
(x + 200)
100 100

Giải phơng trình ta đợc: x 300 (thoả mãn điều kiện của ẩn)
Vậy có 300 gam dung dịch.
C – Kết quả thực nghiệm:
Trên đây là một số vị dụ nhỏ minh hoạ cho một số dạng toán giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình trong thực tế còn nhiều ví dụ minh hoạ cho dạng toán này mà trong kinh nghiệm
này tôi không tham vọng đa ra cũng nh không khai thác thêm ở các vị dụ những bài toán tợng tự.
Tôi đã áp dụng kinh nghiệm này vào trong quá trình giảng dạy, trong quá trình củng cố ôn
tập cho học lớp 9 (đối tợng học sinh trung bình) và thu đợc một số kết quả nh sau:
Để diễn đạt đợc ngôn ngữ thực tế cảu bài toán dạng này, đã hình thành cho học sinh thói
quen đọc kỹ và nắm vững đề ra để xác định đợc bài toán cho cái gì?, cần tìm cái gì? từ đó
biết cách cgọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn và biểu thị đợc các đại lợng liên quan của bài toán
qua ẩn, nhờ sự liên quan giữa các đại lợng trong bài toán để lập phơng trình. Vì vậy bài toán

trở nên “gần gủi” và đơn giản hơn đối với học sinh.
Kết quả thu đợc qua việc kiểm tra đánh giá:
Trớc khi áp dụng kinh nghiệm
Sau khi áp dụng kinh nghiệm
Học sinh tiếp cận bài toán dạng này với thái Học sinh tích cực say sa hơn trong việc tìm
độ lo ngại, e dè, thiếu chủ động, đẫn đến tòi lời giả. Đã biết cách chọn ẩn, đặt điều
lúng túng trong việc trình bày bài giải, kỷ kiện của ẩn và biết thiết lập phơng trình diễn
năng giải từng bớc cha chắc chắn chỉ có đạt sự tơng quan trong bài toán giữa các đại
những học sinh khá, giỏi mới làm tốt, số lợng.
trung bình, yếu rất ngại trong cách giải và kết Thực hiện đầy đủ và chắc chắn hơn ở các bớc
quả còn hạn chế
giải. Không những học giỏi, khá làm tốt dạng
toán này mà các học sinh trung, yuế đã mạnh
dạn, chủ động hơn với việc tìm tòi lời giải;
các em nắm chắc hơn các bớc giải bài toán
dạng này.
Qua kết quả kiểm tra, số học sinh đạt điểm
khá giỏi đạt tỷ lệ cao, còn lại đạt trung bình
và rất ít em dới điẻm trung bình.
Từ đây tôi cảm thấy yên tâm hơn trong công
tác giảng dạy và tôi tin tởng học sinh khi bớc
vào học lại dạng toán này ở lớp 9 các em sẽ
tiếp thu bài một cách chắc chắn vững vàng.
D – Kết luận:
Trên đây là một kinh nghiệm nhỏ của tôi trong việc hớng dẫn học sinh “Giải bài toán băng
cách lập phơng trình” mà trong quá trình giảng dạy tôi đã rút ra, mong các bạn đồng nghiệp
tham khảo và góp ý kiến cho bài viết này đợc trọn vẹn và mang lại hiệu quả hơn. Rất chân
thành cảm ơn!
Hà tĩnh, ngày 20 tháng 4 năm 2009

Mấy con chó ? 36 – xSố chân gà ? 2 xSố chân chó4 ( 36 – x ) Tổng số chân gà và chân chó ? 2 x + 4 ( 36 – x ) = 100T a có phơng trình : 2 x + 4 ( 36 – x ) = 100G iải phơng trình ta đợc : x = 22 ( thoả mãn bài toán ) Vậy số gà là 22 con, số chó là 14. – Phân tích, tìm lời giải cho bài toán là nghiên cứu và phân tích và phiên dịch bài toán về dạng ngôn đạisố. Các bài toán đợc phân thành hai dạng cơ bản : toán bậc nhất và toán bậc hai ( lớp 9 ). ởmỗi dạng phân thành những loại bài : toán tìm số, toán hiệu suất ( cùng làm một việc làm ), toánhình học, toán hoạt động, toán tăng trởng và những loại khác. Mỗi loại có những đặc điểmriêng cần quan tâm khi giải bài toán tơng tự. 1 ) Bài toán tìm sốBài toán 1 : Một số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơnvị. Nếu đổi chổ hai chữ số đó cho nhau thì đợc 1 số ít nhỏ hơn số khởi đầu 18 đơn vị chức năng. Tìm sốđó. Phân tích, tìm lời giảiKinh nghiệm : ” Hớng dẫn học viên lớp 8 giải bài toán bằng cách lạp phơng trình ” Ngôn ngữ thông thờngNgôn ngữ đại sốChữ số hàng đợn vi ? x ( x N, 0 < x 3 ) Chữ số hàng chục ? 3 xSố đã cho10. 3 x + xSố viết ngợc lại10x + 3 xSố này nhỏ hơn số khởi đầu 18 đơn vị10. 3 x + x - 18 = 10 x + 3 xTa có phơng trình : 10. 3 x + x - 18 = 10 x + 3 xGiải phơng trình ta đợc x = 1 ( thoả mãn bài toán ) Vậy số cần tìm là 132 ) Bài toán hiệu suất : Bài toán 2 : Một phân xởng may lập kế hoạch may một lô hàng, theo đó mỗi ngày phân xởng phải may xong 90 áo. Nhng nhờ nâng cấp cải tiến kỷ thuật, phân xởng đã may đợc 120 áo mỗingày. Do đó, phân xởng không những đã triển khai xong kế hoạch trớc thời hạn 9 ngày mà cònmay thêm đợc 60 áo. Hỏi theo kế hoạch, phân xởng phải may bao nhiêu áo ? Phân tích, tìm lời giảiNgôn ngữ thông thờngNgôn ngữ đại sốSố ngày may theo kế hoạch ? x ( x > 9 ) Tổng số áo may theo kế hoạch90xSố ngày phân xởng triển khai kế hoạchx-9Số áo may đợc ( may vợt kế hoạch ) 120 ( x – 9 ) Số áo may đợc nhiều hơn so với kế hoạch là60 áo120 ( x – 9 ) = 90 x + 60T a có phơng trình : 120 ( x – 9 ) = 90 x + 60G iải phơng trình ta đợc x = 38 ( thoả mãn bài toán ) Vậy số áo may theo kế hoạch là 38 ì 90 = 3420 ( áo ). Bài toán 3 : Hai công nhân nếu làm chung thì 12 giờ triển khai xong việc làm. Họ làm chungvới nhauv trong 4 giờ thì ngời thứ nhất chuyển đi thao tác khác, ngời thứ hai làm nốt phầncông việc còn lại trong 10 ngày. Hỏi ngời thứ hai làm một mình thì trong bao lâu sẽ hoànthành việc làm đó ? Ngôn ngữ thông thờngNgôn ngữ đại số ( x > 0 ) Số ngày ngời thứ hai làm xong việc làm ( 1 việc làm ) ( Năng suất ngời thứ hai làm trong 1 ngày ) Trong 10 ngày ngời thứ 2 làm đợc ( Năng suất cả hai ngời cùng làm trong 1 ngày ) Hai ngời cùng làm trong 4 ngày10124. 12N gời thứ hai làm nốt việc làm trong 10 ngày thì xong 1 công việccông việcTa có phơng trình : 4.1 10 = 112G iải phơng trình ta đợc x = 15 ( thoả mãn bài toán ) Vậy một mình ngời thứ hai làm xong việc làm trong 15 ngày. * Đối với bài toán hiệu suất, ta quan tâm đến quan hệ giữa việc làm, hiệu suất và thời hạn. Trong đó : Năng suất = Công việc / Thời gian làm việcKinh nghiệm : ” Hớng dẫn học viên lớp 8 giải bài toán bằng cách lạp phơng trình ” 3 ) Bài toán hình học : Bài toán 4 : Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Ngời ta làm một lối đi xungquanh khu vờn đó, có chiều rộng 2 m. Tính những kích thớc của vờn, biết rằng phần đất còn lạitrong vờn để trồng trọt là 4256 m2Phân tích, tìm lời giảiNgôn ngữ thông thờngNgôn ngữ đại sốChiều dài một cạnh của vờn ? x mét ( 0 < x < 140 ) Chiều dài cạnh kia ( 140 - x ) métChiều dài hai cạnh phần đất trồng trọt ( x - 4 ) mét và ( 140 - x - 4 ) métDiện tích phần đất còn lại trồng trọt là ( x - 4 ) ( 140 - x - 4 ) = 4256T a có phơng trình : ( x - 4 ) ( 140 - x - 4 ) = 4256G iải phơng trình ta đợc x = 80, x = 60 ( đều thoả mãn điều kiện kèm theo của ẩn ) Vậy một cạnh của vờn là 80 mét, cạnh còn lại là 60 mét. 4 ) Bài toán hoạt động : Bài toán 5 : Một ngời đi xe đạp điện từ A đến B. Lúc đầu, trên đoạn đờng đá, ngời đó đi với vậntốc 10 km / h. Trên đoạn đờng còn lại là đờng nhựa, dài gấp rỡi đoạn đờng đá, ngời đó đi vớivận tốc 15 km / h. Sau 4 giờ ngời đó đến B. Tính độ dài quảng đờng AB.Phân tích, tìm lời giảiNgôn ngữ thông thờngNgôn ngữ đại sốQuảng đờng AB dài bao nhiêu ? x ( km ) ( x > 0 ) Đoạn đờng đá dài bao nhiêu ? x ( km ) Đoạn đờng nhựa dài bao nhiêu ? Thời gian đi hết đoạn đờng đáThời gian đi hết đoạn đờng nhựaTổng thời hạn đi hết đoạn đờng ABx ( km ) x : 10 x : 15 ( x : 10 ) + ( x : 15 ) = 4T a có phơng trình : ( x : 10 ) + ( x : 15 ) = 4G iải phơng trình ta đợc : x = 50 ( thoả mãn điều kiện kèm theo của ẩn ) Vậy quảng đờng AB dài 50 km * – Đối với bài toán hoạt động, ta chú ý quan tâm đến ba đại lợng : quảng đờng ( S ), tốc độ ( V ), thời hạn ( t ). Trong đó : S = v. t5 ) Các loại khác : Bài toán 6 : Cho một lợng dung dịch chứa 10 % muối, Nếu pha thêm 200 gam nớc thì đợcmột dung dịch 6 %. Hỏi có bao nhiêu gam dung dịch đã cho ? Phân tích, tìm lời giảiNgôn ngữ thông thờngNgôn ngữ đại sốCó bao nhiêu gam dung dịch đã chox ( x > 0 ) 10 xChứa 10 % muốiThêm 200 gam nớc100x + 200K inh nghiệm : ” Hớng dẫn học viên lớp 8 giải bài toán bằng cách lạp phơng trình ” Đợc dung dịchPhơng trình : 10 x ( x + 200 ) 100 10010 x ( x + 200 ) 100 100G iải phơng trình ta đợc : x 300 ( thoả mãn điều kiện kèm theo của ẩn ) Vậy có 300 gam dung dịch. C – Kết quả thực nghiệm : Trên đây là 1 số ít vị dụ nhỏ minh hoạ cho 1 số ít dạng toán giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình trong thực tế còn nhiều ví dụ minh hoạ cho dạng toán này mà trong kinh nghiệmnày tôi không tham vọng đa ra cũng nh không khai thác thêm ở những vị dụ những bài toán tợng tự. Tôi đã vận dụng kinh nghiệm tay nghề này vào trong quy trình giảng dạy, trong quy trình củng cố ôntập cho học lớp 9 ( đối tợng học viên trung bình ) và thu đợc 1 số ít hiệu quả nh sau : Để diễn đạt đợc ngôn từ thực tế cảu bài toán dạng này, đã hình thành cho học viên thóiquen đọc kỹ và nắm vững đề ra để xác lập đợc bài toán cho cái gì ?, cần tìm cái gì ? từ đóbiết cách cgọn ẩn, đặt điều kiện kèm theo cho ẩn và biểu lộ đợc những đại lợng tương quan của bài toánqua ẩn, nhờ sự tương quan giữa những đại lợng trong bài toán để lập phơng trình. Vì vậy bài toántrở nên ” gần gủi ” và đơn thuần hơn so với học viên. Kết quả thu đợc qua việc kiểm tra nhìn nhận : Trớc khi vận dụng kinh nghiệmSau khi vận dụng kinh nghiệmHọc sinh tiếp cận bài toán dạng này với thái Học sinh tích cực say sa hơn trong việc tìmđộ quan ngại, ngần ngại, thiếu dữ thế chủ động, đẫn đến tòi lời giả. Đã biết cách chọn ẩn, đặt điềulúng túng trong việc trình diễn bài giải, kỷ kiện của ẩn và biết thiết lập phơng trình diễnnăng giải từng bớc cha chắc như đinh chỉ có đạt sự tơng quan trong bài toán giữa những đạinhững học viên khá, giỏi mới làm tốt, số lợng. trung bình, yếu rất ngại trong cách giải và kết Thực hiện vừa đủ và chắc như đinh hơn ở những bớcquả còn hạn chếgiải. Không những học giỏi, khá làm tốt dạngtoán này mà những học viên trung, yuế đã mạnhdạn, dữ thế chủ động hơn với việc tìm tòi giải thuật ; những em nắm chắc hơn những bớc giải bài toándạng này. Qua tác dụng kiểm tra, số học viên đạt điểmkhá giỏi đạt tỷ suất cao, còn lại đạt trung bìnhvà rất ít em dới điẻm trung bình. Từ đây tôi cảm thấy yên tâm hơn trong côngtác giảng dạy và tôi tin tởng học viên khi bớcvào học lại dạng toán này ở lớp 9 những em sẽtiếp thu bài một cách chắc như đinh vững vàng. D – Kết luận : Trên đây là một kinh nghiệm tay nghề nhỏ của tôi trong việc hớng dẫn học viên ” Giải bài toán băngcách lập phơng trình ” mà trong quy trình giảng dạy tôi đã rút ra, mong những bạn đồng nghiệptham khảo và góp quan điểm cho bài viết này đợc toàn vẹn và mang lại hiệu suất cao hơn. Rất chânthành cảm ơn ! Hà tĩnh, ngày 20 tháng 4 năm 2009

Source: https://evbn.org
Category: Góc Nhìn