Bài 12 trang 147 SGK Giải tích 12: ÔN TẬP CUỐI NĂM – GIẢI TÍCH 12…

Bài 12. Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số

a) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 24}} {\tan ({\pi  \over 4} – 4x)dx} \) (đặt \(u = \cos ({\pi  \over 3} – 4x)\) )

b ) \ ( \ int \ limits_ { { { \ sqrt 3 } \ over 5 } } ^ { { 3 \ over 5 } } { { { dx } \ over { 9 + 25 { x ^ 2 } } } } \ ) ( đặt \ ( x = { 3 \ over 5 } \ tan t \ ) )
c ) \ ( \ int \ limits_0 ^ { { \ pi \ over 2 } } { { { \ sin } ^ 3 } } x { \ cos ^ 4 } xdx \ ) ( đặt u = cos x )
d ) \ ( \ int \ limits_ { { { – \ pi } \ over 4 } } ^ { { \ pi \ over 4 } } { { { \ sqrt { 1 + \ tan x } } \ over { { { \ cos } ^ 2 } x } } } dx \ ) ( đặt \ ( u = \ sqrt { 1 + \ tan x } \ ) )
a ) Ta có :
Đặt \ ( u = \ cos ( { \ pi \ over 3 } – 4 x ) \ ) thì \ ( u ’ = 4 sin ( { \ pi \ over 3 } – 4 x ) \ )
Khi \ ( x = 0 \ ) thì \ ( u = { 1 \ over 2 } \ ) ; khi \ ( x = { \ pi \ over { 24 } } \ Rightarrow u = { { \ sqrt 3 } \ over 2 } \ )
Khi đó :

\(\eqalign{
& \int\limits_0^{{\pi \over {24}}} {\tan ({\pi \over 3}} – 4x)dx = {1 \over 4}\int\limits_0^{{\pi \over {24}}} {{{d\cos ({\pi \over 3} – 4x)} \over {\cos ({\pi \over 3} – 4x)}}} \cr
& = {1 \over 4}\int\limits_{{1 \over 2}}^{{{\sqrt 3 } \over 2}} {{{du} \over u}} ={1 \over 4}\ln |u|\left| {_{{1 \over 2}}^{{{\sqrt 3 } \over 2}}} \right.= {1 \over 4}\ln \sqrt 3 \cr} \)

b )
Đặt

\(x = {3 \over 5}\tan t \Rightarrow \left\{ \matrix{
9 + 25{x^2} = 9(1 + {\tan ^2}t) \hfill \cr
dx = {3 \over 5}(1 + {\tan ^2}t) \hfill \cr} \right.\)

Quảng cáo
Đổi cận : \ ( x = { { \ sqrt 3 } \ over 5 } \ Rightarrow t = { \ pi \ over 6 } ; x = { 3 \ over 5 } \ Rightarrow t = { \ pi \ over 4 } \ )
Do đó :
\ ( \ int \ limits_ { { { \ sqrt 3 } \ over 5 } } ^ { { 3 \ over 5 } } { { { dx } \ over { 9 + 25 { x ^ 2 } } } } = \ int \ limits_ { { \ pi \ over 6 } } ^ { { \ pi \ over 4 } } { { 1 \ over { 15 } } dt = { 1 \ over { 15 } } t \ left | { _ { { \ pi \ over 6 } } ^ { { \ pi \ over 4 } } } \ right. { \ pi \ over { 180 } } } \ )
c ) Đặt \ ( t = cos x \ ) thì \ ( dt = – sin x dx \ )
Khi \ ( x = 0 \ Rightarrow t = 1 ; x = { \ pi \ over 2 } \ Rightarrow t = 0 \ )
Do đó :

\(\eqalign{
& \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx = \int\limits_1^0 { – (1 – {t^2}){t^4}} dt} \cr
& = – \int\limits_0^1 {({t^4} – {t^6})dt = – ({{{t^5}} \over 5}} – {{{t^7}} \over 7})\left| {_0^1} \right. = {2 \over {35}} \cr} \)

 d) Đặt \(u = \sqrt {1 + \tan x}  \Rightarrow {t^2} = 1 + \tan x \Rightarrow 2tdt = {{dx} \over {{{\cos }^2}x}}\)

Do đó :
\ ( \ int \ limits_ { { { – \ pi } \ over 4 } } ^ { { \ pi \ over 4 } } { { { \ sqrt { 1 + \ tan x } } \ over { { { \ cos } ^ 2 } x } } } dx = \ int \ limits_0 ^ { \ sqrt 2 } { 2 { t ^ 2 } dt = { 2 \ over 3 } } { t ^ 3 } \ left | { _0 ^ { \ sqrt 2 } } \ right. = { { 4 \ sqrt 2 } \ over 3 } \ )

Source: https://evbn.org
Category: Bài Tập