Ôn tập chương 2 Đại số lớp 9 Hàm số bậc nhất chi tiết nhất

Hướng dẫn Ôn tập chương 2 Đại số lớp 9 Hàm số bậc nhất ngắn gọn, dễ hiểu và chi tiết nhất. Bài viết được biên soạn bởi các thầy cô chuyên toán trên khắp cả nước giúp các em nhanh chóng nắm được kiến thức trọng tâm và ứng dụng giải bài tập sgk để các em hiểu rõ hơn.

Ôn tập chương 2 đại số 9 thuộc Chương II : Hàm số bậc nhất. Bài 4 : Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b ( a ≠ 0 )

I. CHỦ ĐỀ 1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ

1. Khái niệm hàm số

• Nếu đại lượng y phụ thuộc vào vào đại lượng biến hóa x sao cho với mỗi giá trị của x, ta luôn xác lập được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x, x được gọi là biến số .

• Hàm số có thể cho bằng bảng hoặc công thức.

• Khi x đổi khác mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số y được gọi là hàm hằng .

2. Đồ thị hàm số

Đồ thị của hàm số y = f ( x ) là tập hợp tổng thể những điểm màn biểu diễn những cặp giá trị tương ứng ( x ; f ( x ) ) trên mặt phẳng tọa độ Oxy .

3. Hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f ( x ) xác lập trên tập số thực R Với x1, x2 ∈ R ta có :
• Nếu x1 < x2 mà f ( x1 ) < f ( x2 ) thì hàm số đồng biến . • Nếu x1 < x2 mà f ( x1 ) > f ( x2 ) thì hàm số nghịch biến .

II. CHỦ ĐỀ 2 HÀM BẬC NHẤT. ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax + b (a ≠ 0)

1. Định nghĩa

• Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là những số cho trước và a ≠ 0
• Đặc biệt, khi b = 0 thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y = ax, bộc lộ đối sánh tương quan tỉ lệ thuận giữa y và x .

2. Tính chất

Hàm số bậc nhất y = ax + b xác lập với mọi giá trị x ∈ R và có đặc thù :
a ) Đồng biến trên R, khi a > 0 .
b ) Nghịch biến trên R, khi a < 0 .

3. Nhận xét về đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

• Đồ thị hàm số y = ax ( a ≠ 0 ) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ mà ta gọi là đường thẳng y = ax. Đường thẳng y = ax nằm ở góc phần tư thứ I và thứ III khi a > 0 ; nằm ở góc phần tư thứ II và thứ IV khi a < 0 . • Đồ thị hàm số y = ax + b ( a ≠ 0 ) là một đường thẳng : • Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b . • Song song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0, và trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0

4. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

• Bước 1 : Cho x = 0 thì y = b, ta được điểm P ( 0 ; b ) thuộc trục tung Oy .
Cho y = 0 thì x = – b / a ta được điểm Q. ( – b / a ; 0 ) thuộc trục hoành
• Bước 2 : Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b ( a ≠ 0 ) .

5. Kiến thức mở rộng

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai điểm A ( x1 ; y2 ) ; B ( x2 ; y2 ) ta có :

•

• M(x; y) là trung điểm của AB

• A đối xứng với B qua trục hoành

• A đối xứng với B qua trục tung

• A đối xứng với B qua gốc O

• A đối xứng với B qua đường thẳng y = x

• A đối xứng với B qua đường thẳng y = -x

III. CHỦ ĐỀ 3 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU. HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG y = ax + b (a ≠ 0)

1. Đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau.

Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y = ax + b ( a ≠ 0 ) ; ( d2 ) : y = a’x + b ‘ ( a ‘ ≠ 0 )

• Khi a ≠ 0 và b = b ’ thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung có tung độ là b .

2. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

* Cho đường thẳng y = ax + b ( a ≠ 0 ) thì a được gọi là thông số góc của đường thẳng .
* Tính chất
• Khi a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn. Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 90 ° .
• Khi a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù. Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 180 ° .

3. Kiến thức bổ sung

Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y = ax + b ( a ≠ 0 ) ; ( d2 ) : y = a’x + b ‘ ( a ‘ ≠ 0 ) .
• ( d1 ) ⊥ ( d2 ) ⇔ a. a ‘ = – 1
• Nếu ( d1 ) cắt ( d2 ) thì hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình ax + b = a’x + b ‘

IV. GIẢI BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = x – 2 và (d2): y = 2 – x

a ) Vẽ hai đường thẳng trên cùng trục
b ) Tìm tọa độ giao điểm của ( d1 ), ( d2 )
c ) Vẽ đồ thị hàm số y = | x – 2 |
d ) Biện luận số nghiệm của phương trình m = | x – 2 |
a ) Vẽ ( d1 ) :

Giải bài chi tiết 

+ Cho x = 0 ⇒ y = – 2
+ Cho y = 0 thì x = 2 .
Đồ thị hàm số y = x – 2 là đường thẳng đi qua 2 điểm ( 0 ; – 2 ) và ( 2 ; 0 )
* Vẽ ( d2 ) : y = 2 – x
Cho x = 0 thì y = 2
Cho y = 0 thì x = 2
Đồ thị hàm số y = 2 – x là đường thẳng đi qua 2 điểm ( 0 ; 2 ) và ( 2 ; 0 ) .

b ) Hoành độ giao điểm của 2 đường thẳng đã cho là nghiệm phương trình :
x – 2 = 2 – x ⇔ 2 x = 4 ⇔ x = 2
Với x = 2 ⇒ y = 2 – 2 = 0
Vậy tọa độ giao điểm là M ( 2 ; 0 )
c ) Ta có :

Nhận xét : y = x – 2 nếu x ≥ 2 là nửa đường thẳng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x = 2
Kết luận : Đồ thị y = | x – 2 | như hình vẽ

d ) Xét hai đồ thị : y = m, y = | x – 2 |
Số nghiệm của phương trình m = | x – 2 | là số giao điểm của đồ thị y = m và y = | x – 2 |
+ Với m < 0 đường thẳng y = m không cắt đồ thị hàm số y = | x - 2 |. Như vậy phương trình đã cho vô nghiệm . + Với m = 0 đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = | x - 2 | tại một điểm duy nhất. Như vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất . + Với m > 0 đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = | x – 2 | tại hai điểm phân biệt. Như vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt .

Câu 2: Xác định các hệ số a và b để đường thẳng y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 và song song với đường thẳng OA, trong đó O là gốc tọa độ và điểm A(2; 1)

Giải bài chi tiết 

Đường thẳng OA đi qua O nên có dạng : y = ax ( a ≠ 0 ) .
Điểm A nằm trên đường thẳng OA nên : 1 = a. 2 ⇒ a = 1/2
Vậy phương trình đường thẳng OA là y = 1/2
Vì đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng OA nên a = 1/2
Mặt khác đường thẳng đó đi qua điểm có tọa độ là ( 0 ; – 2 )
Khi đó ta có : – 2 = 0.1 / 2 + b ⇒ b = – 2
Vậy giá trị cần tìm là a = 1/2 ; b = – 2

Câu 3: Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-1; -2) và thỏa mãn:

Giải bài chi tiết 

Câu 4: Cho hai hàm số y = (m + 3)x – 1 (1) và y = (1 – 2m)x + 5 (2)

Với giá trị nào của m thì đồ thị hai hàm số là hai đường thẳng
a ) Song song
b ) Cắt nhau
c ) Trùng nhau

Giải bài chi tiết 

Xét ( 1 ) ta có : a = m + 3, b = – 1
Xét ( 2 ) ta có : a ‘ = 1 – 2 m, b ‘ = 5

Câu 5: Cho hàm số y = (m – 1)x + m (d)

a ) Tìm điểm M cố định và thắt chặt mà đồ thị đi qua với mọi m
b ) Viết đường thẳng đi qua điểm M và gốc tọa độ
c ) Tìm m để khoảng cách từ O đến ( d ) là lớn nhất .

Giải bài chi tiết 

a ) Gọi M ( x0 ; y0 ) là điểm cố định và thắt chặt mà đồ thị hàm số đi qua với mọi m

b ) Vì đường thẳng OM đi qua gốc tọa độ O
Nên phương trình có dạng : y = ax ( a ≠ 0 )
Điểm M ( – 1 ; 1 ) thuộc đường thẳng OM nên
1 = a. ( – 1 ) nên a = – 1
Vậy phương trình đường thẳng OM là y = – x
c ) Gọi H là hình chiếu của O lên ( d )
Ta có : OH ≤ OM ( không đổi )
Vậy để OH đạt giá trị lớn nhất thì đường thẳng ( d ) vuông góc với đường thẳng OM
⇔ ( m – 1 ) ( – 1 ) = – 1 ⇔ m = 2

Câu 6: Cho đường thẳng y = mx + m – 1 (m là tham số) (1)

a ) Chứng minh rằng đường thẳng ( 1 ) luôn đi qua một điểm cố định và thắt chặt với mọi giá trị của m
b ) Tìm giá trị của m để đường thẳng ( 1 ) tạo với những trục tọa độ một tam giác có diện tích quy hoạnh bằng 2 .

Giải bài chi tiết 

a ) Điều kiện để đường thẳng ( 1 ) đi qua điểm N ( x0 ; y0 ) với mọi m là :

Vậy đường thẳng ( 1 ) luôn đi qua điểm cố định và thắt chặt là N ( – 1 ; – 1 )
b ) Gọi A là giao điểm của đường thẳng ( 1 ) với trục tung
Với x = 0 ⇒ y = m – 1 ⇒ A ( 0 ; m – 1 ). Do đó : OA = | m – 1 |
Gọi B là giao điểm của đường thẳng ( 1 ) với trục hoành

Với 

Ta có :

Có 3 đường thẳng đi qua điểm N tạo với những trục tọa độ một tam giác có diện tích quy hoạnh bằng 2

Câu 7: Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc góc phần tư thứ nhất; góc phần tư thứ hai với mx + 2y = 5 (1) và 2x + y = 1 (2)

Giải bài chi tiết 

Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi

+ Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc góc phần tư thứ nhất khi:

+ Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc góc phần tư thứ hai khi :

Câu 8: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a ) y = 2 | x – 2 | – 3
b ) y = | x – 1 | + | x – 3 |

Giải bài chi tiết 

b ) Ta có : y = | x – 1 | + | x – 3 |
Bảng xét dấu :

Dựa vào bảng trên ta có :

Bảng giá trị :

Đồ thị hàm số :

Câu 9: Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy:

( d1 ) : y = 2 x – 3, ( d2 ) : y = x – 1, ( d3 ) : y = ( m – 1 ) x + 2 m
Câu 10 : Cho điểm B ( 4 ; 1 ). Đường thẳng ( d ) đi qua B cắt Ox, Oy theo thứ tự tại I ( a ; 0 ), J ( 0 ; b ) với a, b > 0
a ) Viết phương trình đường thẳng d để diện tích quy hoạnh Δ OIJ nhỏ nhất
b ) Tìm b để ( OI + OJ ) nhỏ nhất

Giải bài chi tiết 

Hoành độ giao điểm của ( d1 ) ; ( d2 ) là nghiệm của hệ phương trình :

Câu 10: Cho điểm B(4; 1). Đường thẳng (d) đi qua B cắt Ox, Oy theo thứ tự tại I(a; 0), J(0; b) với a, b > 0

a ) Viết phương trình đường thẳng d để diện tích quy hoạnh Δ OIJ nhỏ nhất
b ) Tìm b để ( OI + OJ ) nhỏ nhất

Giải bài chi tiết 

a ) Đường thẳng d đi qua B cắt Ox, Oy tại I ( a ; 0 ) và J ( 0 ; b ) nên phương trình đường thẳng d :

b ) Ta có :

V. Hướng dẫn giải bài tập ôn tập chương 2 đại số 9 hàm số bậc nhất

Bài 32 trang 61 SGK Toán 9 Tập 1:

a ) Với những giá trị nào của m thì hàm số bậc nhất y = ( m – 1 ) x + 3 đồng biến ?
b ) Với những giá trị nào của k thì hàm số bậc nhất y = ( 5 – k ) x + 1 nghịch biến ?
Lời giải :
a ) Hàm số y = ( m – 1 ) x + 3 là hàm số bậc nhất so với x khi m – 1 ≠ 0 hay m ≠ 1 ( * )
Hàm số đồng biến khi m – 1 > 0 hay m > 1 .
Kết hợp với điều kiện kèm theo ( * ) ta được với m > 1 thì hàm số đồng biến .
b ) Hàm số y = ( 5 – k ) x + 1 là hàm số bậc nhất so với x khi 5 – k ≠ 0 hay k ≠ 5 ( * * ) .
Hàm số nghịch biến khi 5 – k < 0 hay k > 5 .
Kết hợp với điều kiện kèm theo ( * * ) ta được với k > 5 thì hàm số nghịch biến .

Bài 34 (trang 61 SGK Toán 9 Tập 1):

Tìm giá trị của a để hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 (a ≠ 1) và y = (3 – a)x + 1 (a ≠ 3) song song với nhau.

Lời giải :
Theo đề bài ta có b ≠ b ‘ ( vì 2 ≠ 1 )
Nên hai đường thẳng y = ( a – 1 ) x + 2 và y = ( 3 – a ) x + 1 song song với nhau khi và chỉ khi :
a – 1 = 3 – a
=> a = 2 ( thỏa mãn nhu cầu a ≠ 1 và a ≠ 3 )
Vậy với a = 2 thì hai đường thẳng song song với nhau .

Bài 36 trang 61 SGK Toán 9 Tập 1:

Cho hai hàm số bậc nhất y = ( k + 1 ) x + 3 và y = ( 3 – 2 k ) x + 1 .
a ) Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng song song với nhau ?
b ) Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng cắt nhau ?
c ) Hai đường thẳng nói trên hoàn toàn có thể trùng nhau được không ? Vì sao ?
Lời giải :
Hàm số y = ( k + 1 ) x + 3 có những thông số a = k + 1, b = 3
Hàm số y = ( 3 – 2 k ) x + 1 có những thông số a ‘ = 3 – 2 k, b ‘ = 1
Hai hàm số là hàm số bậc nhất nên a và a ‘ khác 0, tức là :

a ) Theo đề bài ta có b ≠ b ‘ ( vì 3 ≠ 1 )
Nên hai đường thẳng y = ( k + 1 ) x + 3 và y = ( 3 – 2 k ) x + 1 song song với nhau khi a = a ‘
tức là : k + 1 = 3 – 2 k

b ) Hai đường thẳng y = ( k + 1 ) x + 3 và y = ( 3 – 2 k ) x + 1 là hàm số bậc nhất nên a ≠ 0 và a ‘ ≠ 0. Hai đường thẳng này cắt nhau khi a ≠ a ‘ tức là :

Vậy với  thì đồ thị của hai hàm số trên là hai đường thẳng cắt nhau.

c ) Do b ≠ b ‘ ( vì 3 ≠ 1 ) nên hai đường thẳng không hề trùng nhau với mọi giá trị k .

Bài 37 trang 61, 62 SGK Toán 9 Tập 1:

a ) Vẽ đồ thị hai hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ :
y = 0,5 x + 2 ( 1 ) ; y = 5 – 2 x ( 2 )
b ) Gọi giao điểm của những đường thẳng y = 0,5 x + 2 và y = 5 – 2 x với trục hoành theo thứ tự là A, B và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là C .
Tìm tọa độ của những điểm A, B, C .
c ) Tính độ dài những đoạn thẳng AB, AC và BC ( đơn vị chức năng đo trên những trục tọa độ là xentimet ) ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai ) .
d ) Tính những góc tạo bởi những đường thẳng có phương trình ( 1 ) và ( 2 ) với trục Ox ( làm tròn đến phút ) .
Lời giải :
a ) – Vẽ đồ thị hàm số y = 0,5 x + 2 ( 1 )
Cho x = 0 => y = 2 được D ( 0 ; 2 )
Cho y = 0 => 0 = 0,5. x + 2 => x = – 4 được A ( – 4 ; 0 )
Nối A, D ta được đồ thị của ( 1 ) .
– Vẽ đồ thị hàm số y = 5 – 2 x ( 2 )
Cho x = 0 => y = 5 được E ( 0 ; 5 )
Cho y = 0 => 0 = 5 – 2 x => x = 2,5 được B ( 2,5 ; 0 )
Nối B, E ta được đồ thị của ( 2 ) .

b ) Ở câu a ) ta tính được tọa độ của hai điểm A và B là A ( – 4 ; 0 ) và B ( 2,5 ; 0 )
Hoành độ giao điểm C của hai đồ thị ( 1 ) và ( 2 ) là nghiệm của phương trình :
0,5 x + 2 = 5 – 2 x
⇔ 0,5 x + 2 x = 5 – 2
⇔ 2,5. x = 3 ⇔ x = 1,2
⇒ y = 0,5. 1,2 + 2 = 2, 6
Vậy tọa độ điểm C ( 1,2 ; 2,6 ) .
c ) AB = AO + OB = | – 4 | + | 2,5 | = 6,5 ( cm )
Gọi H là hình chiếu của C trên Ox, ta có H ( 1,2 ; 0 )
Ta có : AH = AO + OH = 4 + 1,2 = 5,2
BH = BO – OH = 2,5 – 1,2 = 1,3
CH = 2,6

d ) Gọi α là góc hợp bởi đường thẳng y = 0,5 x + 2 với tia Ox .
Ta có : tgα = 0,5 => α = 26 o34 ‘
Gọi β là góc hợp bởi đường thẳng y = 5 – 2 x với tia Ox
Tam giác OEB vuông tại O nên :

Bài 38 (trang 62 SGK Toán 9 Tập 1):

a ) Vẽ đồ thị những hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ :
y = 2 x ( 1 ) ; y = 0,5 x ( 2 ) ; y = – x + 6 ( 3 )
b ) Gọi những giao điểm của đường thẳng có phương trình ( 3 ) với hai đường thẳng có phương trình ( 1 ) và ( 2 ) theo thứ tự là A và B. Tìm tọa độ của hai điểm A và B .
c ) Tính những góc của tam giác OAB .
Hướng dẫn câu c )
Tính OA, OB rồi chứng tỏ tam giác OAB là tam giác cân .

Lời giải :
a ) – Vẽ đồ thị y = 2 x ( 1 ) :
Cho x = 0 ⇒ y = 0 ta được O ( 0, 0 )
Cho x = 2 ⇒ y = 4 ta được điểm ( 2 ; 4 )
– Vẽ đồ thị y = 0,5 x ( 2 ) :
Cho x = 0 ⇒ y = 0 ta được O ( 0 ; 0 )
Cho x = 4 ⇒ y = 2 ta được điểm ( 4 ; 2 )
– Vẽ đồ thị y = – x + 6 ( 3 ) :
Cho x = 0 ⇒ y = 6 được điểm ( 0 ; 6 )
Cho y = 0 ⇒ x = 6 được điểm ( 6 ; 0 )

b ) Theo đề bài A, B theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng ( 3 ) với những đường thẳng ( 1 ) và ( 2 ), nên ta có :
Hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình :
– x + 6 = 2 x ⇒ x = 2
=> y = 4 => A ( 2 ; 4 )
Hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình :
– x + 6 = 0,5 x ⇒ x = 4

⇒ y = 2 ⇒ B(4; 2)

c ) Ta có :

Ôn tập chương 2 Đại số lớp 9 Hàm số bậc nhất chi tiết nhất được đăng ở chuyên mục Giải Toán 9 và biên soạn theo phần Toán đại 9 thuộc SKG Toán lớp 9. Bài giải toán lớp 9 được biên soạn bởi các thầy cô giáo dạy văn tư vấn, nếu thấy hay hãy chia sẻ và comment để nhiều bạn khác cùng học tập cùng.

Source: https://evbn.org
Category: Bài Tập