Giải bài tập SGK toán 7 tập 2 Phần Hình học- Chương 3-Ôn tập chương III | Lớp học thêm toán | Trung tâm học toán | Trung tâm luyện thi toán

Trả lời

2. Từ điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH, những đường xiên AB, AC đến đường thẳng d. Hãy điền dấu ( >, < ) vào những chỗ trống ( … ) dưới đây cho đúng : a ) AB … AH ; AC … AH . b ) Nếu HB … HC thì AB … AC . c ) Nếu AB … AC thì HB … HC . Trả lời a ) AB > AH ; AC > AH .
b ) Nếu HB > HC thì AB > AC .
hoặc hoàn toàn có thể HB < HC thì AB < AC . c ) Nếu AB > AC thì HB > HC .
hoặc hoàn toàn có thể AB < AC thì HB < HC . 3. Cho tam giác DEF. Hãy viết bất đẳng thức về quan hệ giữa những cạnh của tam giác này . Trả lời Với ΔDEF ta có những bất đẳng thức và quan hệ giữa những cạnh là : DE < EF + DF DF < EF + DE EF < DE + DF DF – EF < DE < DF + EF ( với DF > EF )
4. Hãy ghép hai ý ở hai cột để được khẳng định chắc chắn đúng : …
Trả lời
Ghép a-d ’ ; b – a ’, c-b ’, d-c ’
Trong một tam giác
a – d ’ đường phân giác xuất phát từ đỉnh A – là đoạn thẳng có hai mút là đỉnh A và giao điểm của cạnh BC với tia phân giác của góc A .
b – a ’ đường trung trực ứng với cạnh BC – là đường vuông góc với cạnh BC tại trung điểm của nó .
c – b ’ đường cao xuất phát từ đỉnh A – là đoạn vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng BC .
d – c ’ đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A – là đoạn thẳng nối A với trung điểm của cạnh BC .
5. Cũng với nhu yếu như ở câu 4. …
Trả lời
Ghép a-b ’, b-a ’, c-d ’, d-c ’
Trong một tam giác
a – b ’ trọng tâm – là điểm chung của ba đường trung tuyến
b – a ’ trực tâm – là điểm chung của ba đường cao
c – d ’ điểm ( nằm trong tam giác ) cách đều ba cạnh – là điểm chung của ba đường phân giác
d – c ’ điểm cách đều ba đỉnh – là điểm chung của ba đường trung trực
6. a ) Hãy nêu đặc thù trọng tâm của một tam giác ; những cách xác lập trọng tâm .
b ) Bạn Nam nói : “ Có thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác ”. Bạn Nam nói đúng hay sai ? Tại sao ?
Trả lời
a ) – Trọng tâm của một tam giác có đặc thù như sau :
“ Trọng tâm cách đỉnh một khoảng chừng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó. ”
– Các cách xác lập trọng tâm :
+ Cách 1 : Vẽ hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh tùy ý, rồi xác lập giao điểm của hai đường trung tuyến đó .
+ Cách 2 : Vẽ một đường trung tuyến của tam giác. Chia độ dài đường trung tuyến thành ba phần bằng nhau rồi xác lập một điểm cách đỉnh hai phần bằng nhau .
b ) Không thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác vì đường trung tuyến qua một đỉnh của tam giác và trung điểm một cạnh trong tam giác nên đường trung tuyến phải nằm giữa hai cạnh của một tam giác tức nằm ở bên trong của một tam giác nên ba đường trung tuyến cắt nhau chỉ hoàn toàn có thể nằm bên trong của tam giác .
7. Những tam giác có tối thiểu một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, đường cao ?
Trả lời
Tam giác có tối thiểu một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, đường cao là tam giác cân, tam giác vuông cân .
8. Những tam giác nào có tối thiểu một đường trung tuyến đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm ( nằm trong tam giác ) cách đều ba cạnh ?
Trả lời
Tam giác có trọng tâm đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm ( nằm trong tam giác ) cách đều ba cạnh là tam giác đều .
Bài 63 ( trang 87 SGK Toán 7 tập 2 ) : Cho tam giác ABC với AC < AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = AB. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = AC. Vẽ những đonạ thẳng AD, AE . a ) Hãy so sánh góc ADC và góc AEB . b ) Hãy so sánh những đoạn thẳng AD và AE . Lời giải :

a )

+ Trong ΔABC có : góc ABC đối lập cạnh AC, góc Ngân Hàng Á Châu đối lập cạnh AB .

b ) ΔAED có :

⇒ AE < AD hay AD > AE
Kiến thức vận dụng
+ Trong một tam giác, góc đối lập với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn, cạnh đối lập với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn .
Bài 64 ( trang 87 SGK Toán 7 tập 2 ) : Gọi MH là đường cao của tam giác MNP. Chứng minh rằng :

( nhu yếu xét hai trường hợp : khi góc N nhọn và khi góc N tù ) .
Lời giải :

+ So sánh NH và PH
MH là đường cao của ΔMNP ⇒ H là hình chiếu của M trên đường thẳng NP .
⇒ NH là hình chiếu của đường xiên NM trên đường thẳng NP
PH là hình chiếu của đường xiên MP trên đường thẳng NP .
Mà NM < PM ⇒ NH < PH ( đường xiên nào lớn hơn thì hình chiếu lớn hơn ) .

• TH1 : Xét ΔMNP có góc N nhọn

⇒ góc P nhọn (vì MN < MP nên  ).

⇒ H nằm giữa N và P .

• TH2 : Xét ΔMNP có góc N tù
suy ra H nằm ngoài cạnh NP .

(vì giả sử H nằm giữa N và P thì ΔMNH có  ).

Lại có HN < HP nên N nằm giữa H và P

⇒ Tia MN ở giữa hai tia MH và MP ⇒ 

Kiến thức vận dụng
+ Gọi bh, CH lần lượt là hình chiếu của những đường xiên BA, CA trên đường thẳng d :
BA > CA ⇔ bh > CH .
+ Trong một tam giác, cạnh đối lập với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn, góc đối lập với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn .
Bài 65 ( trang 87 SGK Toán 7 tập 2 ) : Có thể vẽ được mấy tam giác ( phân biệt ) với ba cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài như sau : 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm và 5 cm ?
Lời giải :
Trong một tam giác, độ dài một cạnh lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng của hai cạnh còn lại .
Vậy nên với năm đoạn thẳng có độ dài 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm ta dựng được tam giác với ba cạnh là những đoạn thẳng có độ dài là :
+ Bộ ba 2 cm, 3 cm, 4 cm ( 3-2 < 4 < 3 + 2 )

Dựng đoạn thẳng bằng 4 cm .
Từ hai đầu đoạn thẳng dựng những cung tròn nửa đường kính lần lượt 2 cm và 3 cm .
Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm thứ 3 .
Nối những điểm ta được tam giác cần dựng .
+ Bộ ba 3 cm, 4 cm, 5 cm ( 4-3 < 5 < 4 + 3 )

Dựng đoạn thẳng bằng 4 cm .
Dựng đoạn thẳng bằng 5 cm .
Từ hai đầu đoạn thẳng dựng những cung tròn nửa đường kính lần lượt 3 cm và 4 cm .
Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm thứ 3 .
Nối những điểm ta được tam giác cần dựng .
+ Bộ ba 2 cm, 4 cm, 5 cm ( 4-2 < 5 < 4 + 2 )

Dựng đoạn thẳng bằng 4 cm .
Dựng đoạn thẳng bằng 5 cm .
Từ hai đầu đoạn thẳng dựng những cung tròn nửa đường kính lần lượt 2 cm và 4 cm .
Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm thứ 3 .
Nối những điểm ta được tam giác cần dựng .
Vậy ta dựng được tổng thể 3 tam giác .
Kiến thức vận dụng
+ Trong một tam giác, độ dài mỗi cạnh lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng của hai cạnh còn lại .
+ Tuy nhiên, để kiểm tra một bộ ba độ dài hoàn toàn có thể là ba cạnh của một tam giác hay không ta chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất với tổng hoặc hiệu của độ dài hai đoạn còn lại .
Bài 66 ( trang 87 SGK Toán 7 tập 2 ) : Đố : Bốn điểm dân cư được kiến thiết xây dựng như hình 58. Hãy tìm vị trí đặt một nhà máy sản xuất sao cho tổng khoảng cách từ nhà máy sản xuất đến bốn điểm dân cư này là nhỏ nhất .

Hình 58
Lời giải :

Gọi O là khu vực đặt nhà máy sản xuất ( O tùy ý )
A, B, C, D lần lượt là bốn điểm dân cư ( A, B, C, D cố định và thắt chặt ) .
Ta luôn có :
OA + OC ≥ AC
OB + OD ≥ BD
⇒ OA + OB + OC + OD ≥ AC + BD ( AC + BD là hằng số )
Vậy để OA + OB + OC + OD nhỏ nhất thì OA + OC = AC và OB + OD = BD .
OA + OC = AC khi O thuộc đoạn AC .
OB + OD = BD khi O thuộc đoạn BD .
Vậy OA + OB + OC + OD nhỏ nhất khi O là giao điểm của hai đoạn AC và BD .
Kiến thức vận dụng
Với hai điểm A, B cố định và thắt chặt, với mọi điểm O ta luôn có OA + OB ≥ AB và OA + OB = AB khi O thuộc đoạn thẳng AB .
Bài 67 ( trang 87 SGK Toán 7 tập 2 ) : Cho tam giác MNP với trung tuyến MR và trọng tâm Q. .
a ) Tính tỉ số những diện tích quy hoạnh của hai tam giác MNP và RPQ .
b ) Tính tỉ số những diện tích quy hoạnh của hai tam giác MNQ và RNQ .
c ) So sánh những diện tích quy hoạnh của hai tam giác RPQ và RNQ .
Từ tác dụng trên, hãy chứng tỏ những tam giác QMN, QNP, QPM có cùng diện tích quy hoạnh .
Gợi ý : Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao .
Lời giải :

a) Q là trọng tâm của ∆MNP ⟹ Q thuộc đường trung tuyến MR và 

Gọi độ dài đường vuông góc kẻ từ P đến MR là h. Khi đó :

b ) Chứng minh tựa như câu a ta có :

( k là độ dài đường vuông góc kẻ từ N đến MR )
c ) Gọi m là độ dài đường vuông góc kẻ từ Q. đến NP .

Từ ( * ) và ( * * ) suy ra SMNQ = SMPQ = SNPQ .
Kiến thức vận dụng

+ Trong một tam giác, ba đường trung tuyến đồng quy tại trọng tâm. Khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh đó. 

AG = 2/3. AD, GD = 1/3. AD, AG = 2. AD .
+ Tính chất dãy tỉ số bằng nhau :

Bài 68 (trang 88 SGK Toán 7 tập 2): Cho góc xOy. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai cạnh Ox, Oy.

a ) Hãy tìm điểm M cách đều hai cạnh góc xOy và cách đều hai điểm A, B .
b ) Nếu OA = OB thì có bao nhiêu điểm M thỏa mãn nhu cầu những điều kiện kèm theo trong câu a ?
Lời giải :

a) Tìm M khi độ OA, OB là bất kì

– Vì M cách đều hai cạnh Ox, Oy của góc xOy nên M nằm trên đường phân giác Oz của góc xOy ( 1 ) .
– Vì M cách đều hai điểm A, B nên M nằm trên đường trung trực của đoạn AB ( 2 ) .
Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta xác lập được điểm M là giao điểm của đường phân giác Oz của góc xOy và đường trung trực của đoạn AB .
b ) Tìm M khi OA = OB
Nếu OA = OB thì ∆ AOB cân tại O nên tia phân giác góc xOy cũng là trung trực của AB .
Do đó mọi điểm trên tia phân giác góc xOy sẽ cách đều hai cạnh Ox, Oy và cách đều hai điểm A và B .
Vậy khi OA = OB thì có vô số điểm M thỏa mãn nhu cầu những điều kiện kèm theo ở câu a .
Kiến thức vận dụng
+ Mọi điểm nằm trên đường phân giác của một góc đều cách đều hai cạnh của góc đó .
+ Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đều cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó .
Bài 69 ( trang 88 SGK Toán 7 tập 2 ) : Cho hai đường thẳng phân biệt không song song a và b, điểm M nằm bên trong hai đường thẳng này. Qua M lần lượt vẽ đường thẳng c vuông góc với a tại P, cắt b tại Q. và đường thẳng d vuông góc với b tại R, cắt a tại S. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với SQ cũng đi qua giao điểm của a và b .
Lời giải :

Gọi O là giao điểm của a và b .
Theo giả thiết c ⟘ a hay SR ⟘ OQ hay SR là đường cao của ΔOSQ .
d ⟘ b hay PQ ⟘ OS hay QP là đường cao của ΔOSQ .
SR cắt QP tại M ⇒ M là trực tâm của ΔOSQ
⇒ OM ⟘ SQ
Vậy đường thẳng đi qua M và vuông góc với SQ cũng đi qua O ( đpcm ) .
Bài 70 ( trang 88 SGK Toán 7 tập 2 ) : Cho A, B là hai điểm phân biệt và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB .
a ) Ta kí hiệu PA là nửa mặt phẳng bờ d có chưa điểm A ( không kể đường thẳng d ). Gọi là một điểm của PA và M là giaođiểm của đường thẳng NB và d. Hãy so sánh NB với NM + MA ; từ đó suy ra NA < NB . b ) Ta kí hiệu PB là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm B ( không kể d ). Gọi N ’ là một điểm của PB. Chứng minh N’B < N’A . c ) Gọi L là một điểm sao cho LA < LB. Hỏi điểm L nằm ở đâu, trong PA, PB hay trên d ? Lời giải :

a ) Vì M nằm trên d, d là trung trực của AB nên MA = MB ( 1 )
Vì N ∈ PA nên N và B thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ là đường thẳng d .
⇒ M nằm giữa N và B ⇒ NM + MB = NB ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) ⇒ NB = MA + NM .
Trong ∆ NMA có : MA + NM > NA ( bất đẳng thức tam giác ) .
⇒ NB > NA .
b ) Gọi AN ’ cắt d tại K .
K thuộc đường trung trực của AB nên KA = KB .
Trong tam giác N’KB có : N’B < KN ’ + KB ( bất đẳng thức tam giác ) . ⇒ N’B < KN ’ + KA ( vì KA = KB ) hay N’B < N’A . c ) Vì LA < LB nên L không thuộc d Theo chứng tỏ câu b suy ra L không thuộc PB ( vì nếu L thuộc PB thì LA > LB ) .
Vậy L thuộc PA .

Kiến thức áp dụng

Dựa vào định lí về đặc thù những điểm thuộc tia phân giác
Dựa vào định lí về bất đẳng thức trong tam giác

Post navigation

Source: https://evbn.org
Category: Bài Tập