Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 2: Dãy Số

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

Sách giải toán 11 Bài 2 : Dãy số giúp bạn giải những bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện năng lực suy luận hài hòa và hợp lý và hợp logic, hình thành năng lực vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào những môn học khác :

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 85: Cho hàm số f(n) = 1/(2n-1), n ∈ N*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5).

Lời giải:

Lời giải:

– Hàm số cho bằng bảng
Ví dụ :

– Hàm số cho bằng công thức :
Ví dụ :

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 86: Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau:

a ) Dãy nghịch đảo của những số tự nhiên lẻ ;
b ) Dãy những số tự nhiên chia cho 3 dư 1 .

Lời giải:

a)năm số hạng đầu:

số hạng tổng quát của dãy số : 1 / ( 2 n + 1 ) ( n ∈ N )
b ) năm số hạng đầu : 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13
số hạng tổng quát của dãy số : 3 n + 1 ( n ∈ N )

Lời giải:

Mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55
a ) Tính u ( n + 1 ), v ( n + 1 ) .
b ) Chứng minh u ( n + 1 ) < un và v ( n + 1 ) > vn, với mọi n ∈ N ^ * .

Lời giải:

a ) u ( n + 1 ) = 1 + 1 / ( n + 1 ) ; v ( n + 1 ) = 5 ( n + 1 ) – 1 = 5 n + 4
b ) Ta có :

⇒ u ( n + 1 ) < un, ∀ n ∈ N * v ( n + 1 ) – vn = ( 5 n + 4 ) – ( 5 n – 1 ) = 5 > 0
⇒ v ( n + 1 ) > vn, ∀ n ∈ N *

Lời giải:

Bài 1 (trang 92 SGK Đại số 11): Viết năm số hạng đầu của dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:

Lời giải:

Bài 2 (trang 92 SGK Đại số 11): Cho dãy số (un), biết u1 = – 1, un+ 1 = un + 3 với n ≥ 1.

a. Viết năm số hạng đầu của dãy số ;
b. Chứng minh bằng giải pháp quy nạp : un = 3 n – 4

Lời giải:

a. u1 = – 1, un + 1 = un + 3 với n > 1
u1 = – 1 ;
u2 = u1 + 3 = – 1 + 3 = 2
u3 = u2 + 3 = 2 + 3 = 5
u4 = u3 + 3 = 5 + 3 = 8
u5 = u4 + 3 = 8 + 3 = 11
b. Chứng minh chiêu thức quy nạp : un = 3 n – 4 ( 1 )
+ Khi n = 1 thì u1 = 3.1 – 4 = – 1, vậy ( 1 ) đúng với n = 1 .
+ Giả sử công thức ( 1 ) đúng với n = k > 1 tức là uk = 3 k – 4 .
Khi đó : uk + 1 = uk + 3 = 3 k – 4 + 3 = 3 ( k + 1 ) – 4 .
⇒ ( 1 ) đúng với n = k + 1
Vậy ( 1 ) đúng với ∀ n ∈ N * .

Bài 3 (trang 92 SGK Đại số 11): Dãy số (un) cho bởi u1 = 3, un+1 = √(1+un2), n > 1

a. Viết năm số hạng đầu của dãy số .
b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng tỏ công thức đó bằng giải pháp quy nạp .

Lời giải:

a. Năm số hạng đầu của dãy số

b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số :
un = √ ( n + 8 ) ( 1 )
Rõ ràng ( 1 ) đúng với n = 1
Giả sử ( 1 ) đúng với n = k, nghĩa là uk = √ ( k + 8 )

⇒ ( 1 ) đúng với n = k + 1
⇒ ( 1 ) đúng với mọi n ∈ N * .

Bài 4 (trang 92 SGK Đại số 11): Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un), biết:

Lời giải:

a. Với mọi n ∈ N ta có :

⇒ ( un ) là dãy số giảm .

Với mọi n ∈ N có :

⇒ ( un ) là dãy số tăng .
c. un = ( – 1 ) n. ( 2 n + 1 )
Nhận xét : u1 < 0, u2 > 0, u3 < 0, u4 > 0, …
⇒ u1 < u2, u2 > u3, u3 < u4, … ⇒ dãy số ( un ) không tăng, không giảm .
với n ∈ N *, n ≥ 1
Xét :

⇒ un + 1 – un < 0 ⇒ un + 1 < un Vậy ( un ) là dãy số giảm

Bài 5 (trang 92 SGK Đại số 11): Trong các dãy số (un) sau, dãy nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?

Lời giải:

a. un = 2 n2 – 1

+ Ta có : n ≥ 1
⇒ un = 2 n2 – 1 ≥ 2.12 – 1 = 1 .
⇒ un ≥ 1
⇒ dãy ( un ) bị chặn dưới ∀ n ∈ N * .
+ ( un ) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn nhu cầu :
un = 2 n2 – 1 ≤ M ∀ n ∈ N * .
Vậy dãy số ( un ) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn .

b. Ta có : ∀ n ≥ 1.

⇒ ( un ) bị chặn dưới

∀ n ≥ 1.

⇒ ( un ) bị chặn trên .
Vậy ( un ) là dãy bị chặn .

+ Ta có : 2 n2 – 1 > 0 ∀ n ∈ N

⇒ ∀ n ∈ N.

⇒ ( un ) bị chặn dưới .
+ 2 n2 – 1 ≥ 2.1 – 1 = 1

⇒ ∀ n ∈ N

⇒ ( un ) bị chặn trên .
Vậy ( un ) bị chặn .
d. un = sin n + cos n .

∀ n ∈ N

Vậy dãy số ( un ) bị chặn .

Source: https://evbn.org
Category: Bài Tập