Đề kiểm tra giữa kì II Toán 8 – Đề số 3 có lời giải chi tiết>

Đề bài

Câu 1 (3,0 điểm):  Giải các phương trình :

a ) \ ( { \ left ( { x – 5 } \ right ) ^ 2 } + 3 \ left ( { x – 5 } \ right ) = 0 \ )

b) \(\frac{{2x – 1}}{3} – \frac{{5x + 2}}{7} = x + 13\)

c ) \ ( \ frac { { x – 1 } } { { x + 2 } } – \ frac { x } { { x – 2 } } = \ frac { { 7 x – 6 } } { { 4 – { x ^ 2 } } } \ )

Câu 2 (3,0 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Một xe máy đi từ \ ( A \ ) đến \ ( B \ ) với tốc độ và thời hạn dự tính trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe tăng tốc độ thêm \ ( 10 \, km / h \ ), vì thế xe máy đi đến \ ( B \ ) sớm hơn \ ( 30 \ ) phút so với dự tính. Tính tốc độ dự tính của xe máy, biết quãng đường \ ( AB \ ) dài \ ( { \ rm { 120 } } \, km \ ) .

Câu 3 (3,5 điểm): Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Đường phân giác của \(\angle ABC\) cắt \(AC\) tại \(D\) và cắt \(AH\) tại \(E\).

a ) Chứng minh : \ ( \ Delta ABC \ ) đồng dạng \ ( \ Delta HBA \ ) và \ ( A { B ^ 2 } = BC.BH \ ) .
b ) Biết \ ( AB = 9 cm, \, \, BC = 15 cm \ ). Tính \ ( DC \ ) và \ ( AD \ ) .
c ) Gọi \ ( I \ ) là trung điểm của \ ( ED \ ). Chứng minh : \ ( \ angle BIH = \ angle ACB \ ) .

Câu 4 (0,5 điểm): Giải phương trình: \({\left( {2017 – x} \right)^3} + {\left( {2019 – x} \right)^3}\)\( + {\left( {2x – 4036} \right)^3} = 0\).

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD)

Phương pháp:

a ) Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích :\ ( A \ left ( x \ right ). B \ left ( x \ right ) = 0 \ ) \ ( \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } A \ left ( x \ right ) = 0 \ \ B \ left ( x \ right ) = 0 \ end { array } \ right. \ )b ) Phương trình không chứa ẩn ở mẫu :Đưa phương trình về dạng \ ( ax + b = 0 \ ) hay \ ( ax = – b \ ) .c ) Phương trình chứa ẩn ở mẫu :+ Tìm điều kiện kèm theo xác lập của phương trình .+ Quy đồng hai vế của phương trình rồi khử mẫu .+ Giải phương trình vừa nhận được .+ Kết luận .

Cách giải:

Giải các phương trình:

a) \({\left( {x – 5} \right)^2} + 3\left( {x – 5} \right) = 0\)

\ ( \ begin { array } { l } { \ left ( { x – 5 } \ right ) ^ 2 } + 3 \ left ( { x – 5 } \ right ) = 0 \ \ \ Leftrightarrow \ left ( { x – 5 } \ right ). \ left ( { x – 5 } \ right ) + 3. \ left ( { x – 5 } \ right ) = 0 \ \ \ Leftrightarrow \ left ( { x – 5 } \ right ) \ left [ { \ left ( { x – 5 } \ right ) + 3 } \ right ] = 0 \ \ \ Leftrightarrow \ left ( { x – 5 } \ right ) \ left ( { x – 5 + 3 } \ right ) = 0 \ \ \ Leftrightarrow \ left ( { x – 5 } \ right ) \ left ( { x – 2 } \ right ) = 0 \ \ \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x – 5 = 0 \ \ x – 2 = 0 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = 5 \ \ x = 2 \ end { array } \ right. \ end { array } \ )Vậy tập nghiệm của phương trình là \ ( S = \ left \ { { 2 ; \, \, 5 } \ right \ } \ ) .

b) \(\frac{{2x – 1}}{3} – \frac{{5x + 2}}{7} = x + 13\)

\ ( \ begin { array } { l } \, \, \, \, \, \, \, \ frac { { 2 x – 1 } } { 3 } – \ frac { { 5 x + 2 } } { 7 } = x + 13 \ \ \ Rightarrow 7 \ left ( { 2 x – 1 } \ right ) – 3 \ left ( { 5 x + 2 } \ right ) = 21 \ left ( { x + 13 } \ right ) \ \ \ Leftrightarrow \ left ( { 14 x – 7 } \ right ) – \ left ( { 15 x + 6 } \ right ) = 21 x + 273 \ \ \ Leftrightarrow 14 x – 7 – 15 x – 6 = 21 x + 273 \ \ \ Leftrightarrow 14 x – 15 x – 21 x = 7 + 6 + 273 \ \ \ Leftrightarrow – 22 x = 286 \ \ \ Leftrightarrow x = – 13 \ end { array } \ )

Vậy tập nghiệm của phương trình là \ ( S = \ left \ { { – 13 } \ right \ }. \ )

c) \(\frac{{x – 1}}{{x + 2}} – \frac{x}{{x – 2}} = \frac{{7x – 6}}{{4 – {x^2}}}\)                

Điều kiện: \(x \ne  \pm 2\).

\ ( \ begin { array } { l } \, \, \, \, \, \, \, \, \ frac { { x – 1 } } { { x + 2 } } – \ frac { x } { { x – 2 } } = \ frac { { 7 x – 6 } } { { 4 – { x ^ 2 } } } \ \ \ Rightarrow \ frac { { x – 1 } } { { 2 + x } } + \ frac { x } { { 2 – x } } = \ frac { { 7 x – 6 } } { { 4 – { x ^ 2 } } } \ \ \ Leftrightarrow \ frac { { x – 1 } } { { 2 + x } } + \ frac { x } { { 2 – x } } = \ frac { { 7 x – 6 } } { { \ left ( { 2 – x } \ right ) \ left ( { 2 + x } \ right ) } } \ \ \ Leftrightarrow \ left ( { x – 1 } \ right ) \ left ( { 2 – x } \ right ) + x \ left ( { 2 + x } \ right ) = 7 x – 6 \ \ \ Leftrightarrow 2 x – { x ^ 2 } – 2 + x + 2 x + { x ^ 2 } = 7 x – 6 \ \ \ Leftrightarrow 5 x – 2 = 7 x – 6 \ \ \ Leftrightarrow 5 x – 7 x = – 6 + 2 \ \ \ Leftrightarrow – 2 x = – 4 \ \ \ Leftrightarrow x = 2 \, \, \ left ( { ktm } \ right ) \ end { array } \ )

Vậy tập nghiệm của phương trình là \ ( S = \ emptyset \ ) .

Câu 2 (VD)

Phương pháp:

Gọi vận tốc dự định của xe máy là \(x\,\,\left( {km/h,\,\,x > 0} \right)\).

Thời gian dự tính của xe máy để đi hết quãng đường là \ ( \ frac { { 120 } } { x } \, \, \ left ( h \ right ) \ ) .Thời gian xe máy đi nửa quãng đường đầu là \ ( \ frac { { 60 } } { x } \, \, \ left ( h \ right ) \ ) .Vận tốc xe máy đi nửa quãng đường sau là \ ( x + 10 \, \, \ left ( { km / h } \ right ) \ ) .Thời gian xe máy đi nửa quãng đường sau là \ ( \ frac { { 60 } } { { x + 10 } } \, \, \ left ( h \ right ) \ ) .Dựa vào giả thiết bài cho để lập phương trình. Giải phương trình tìm ẩn \ ( x. \ )Đối chiếu với điều kiện kèm theo rồi Tóm lại .

Cách giải:

Gọi tốc độ dự tính của xe máy là \ ( x \, \, \ left ( { km / h, \, \, x > 0 } \ right ) \ ) .Thời gian dự tính của xe máy để đi hết quãng đường \ ( AB \ ) là \ ( \ frac { { 120 } } { x } \, \, \ left ( h \ right ) \ ) .

Thời gian xe máy đi nửa quãng đường đầu là \ ( \ frac { { 60 } } { x } \, \, \ left ( h \ right ) \ ) .Vận tốc xe máy đi nửa quãng đường sau là \ ( x + 10 \, \, \ left ( { km / h } \ right ) \ ) .Thời gian xe máy đi nửa quãng đường sau là \ ( \ frac { { 60 } } { { x + 10 } } \, \, \ left ( h \ right ) \ ) .Vì xe máy đi đến \ ( B \ ) sớm hơn \ ( 30 \ ) phút so với dự tính nên ta có phương trình :\ ( \ begin { array } { l } \ frac { { 60 } } { x } + \ frac { { 60 } } { { x + 10 } } + \ frac { 1 } { 2 } = \ frac { { 120 } } { x } \ \ \ Rightarrow 120 \ left ( { x + 10 } \ right ) + 120 x + \ left ( { { x ^ 2 } + 10 x } \ right ) = 240 \ left ( { x + 10 } \ right ) \ \ \ Leftrightarrow 120 x + 1200 + 120 x + { x ^ 2 } + 10 x – 240 x – 2400 = 0 \ \ \ Leftrightarrow { x ^ 2 } + 10 x – 1200 = 0 \ \ \ Leftrightarrow { x ^ 2 } + 40 x – 30 x – 1200 = 0 \ \ \ Leftrightarrow \ left ( { { x ^ 2 } + 40 x } \ right ) – \ left ( { 30 x + 1200 } \ right ) = 0 \ \ \ Leftrightarrow x \ left ( { x + 40 } \ right ) – 30 \ left ( { x + 40 } \ right ) = 0 \ \ \ Leftrightarrow \ left ( { x – 30 } \ right ) \ left ( { x + 40 } \ right ) = 0 \ \ \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x – 30 = 0 \ \ x + 40 = 0 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = 30 \, \, \ left ( { tm } \ right ) \ \ x = – 40 \, \ left ( { ktm } \ right ) \ end { array } \ right. \ end { array } \ )

Vậy tốc độ dự tính của xe máy là \ ( 30 \ left ( { km / h } \ right ) \ ) .

Câu 3 (VD)

Phương pháp:

a ) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc để suy ra những tỉ số bằng nhau \ ( \ left ( { \ frac { { AB } } { { HB } } = \ frac { { BC } } { { BA } } } \ right ) \ ) từ đó suy ra đẳng thức \ ( A { B ^ 2 } = BC.BH \ ) .b ) Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác, dùng giải pháp thế để tìm được \ ( DC \ ) và \ ( AD \ ) .c ) Chứng minh \ ( \ angle BIH \ ) và \ ( \ angle ACB \ ) cùng bằng \ ( \ angle BAH \ ) : Sử dụng hai góc phụ nhau, chứng tỏ tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh – góc – cạnh .

Cách giải:

 \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Đường phân giác của góc \(ABC\) cắt \(AC\) tại \(D\) và cắt \(AH\) tại \(E\).

a) Chứng minh: \(\Delta ABC\) đồng dạng \(\Delta HBA\) và \(A{B^2} = BC.BH\)

Xét \ ( \ Delta ABC \ ) và \ ( \ Delta HBA \ ) ta có :\ ( \ begin { array } { l } \ angle B \, \, \, chung \ \ \ angle BAC = \ angle BHA \, \, \ left ( { = { { 90 } ^ 0 } } \ right ) \ \ \ Rightarrow \ Delta ABC \ sim \ Delta HBA \, \, \, \ left ( { g – g } \ right ) \ end { array } \ ) chung\ ( \ Rightarrow \ frac { { AB } } { { HB } } = \ frac { { BC } } { { BA } } \ ) ( Tỷ số cặp cạnh tương ứng )\ ( \ Rightarrow AB.BA = HB.BC \ )\ ( \ Rightarrow A { B ^ 2 } = BC.BH \ ) ( đpcm )

b) Biết \(AB = 9cm,\,\,BC = 15cm\). Tính \(DC\) và \(AD\).

Vì \ ( \ Delta ABC \ ) vuông tại \ ( A \ ), vận dụng định lý Py-ta-go ta có :\ ( \ begin { array } { l } \, \, \, \, \, \, \, \, \, A { B ^ 2 } + A { C ^ 2 } = B { C ^ 2 } \ \ \ Leftrightarrow A { C ^ 2 } = B { C ^ 2 } – A { B ^ 2 } \ \ \ Leftrightarrow A { C ^ 2 } = { 15 ^ 2 } – { 9 ^ 2 } \ \ \ Leftrightarrow A { C ^ 2 } = 144 \ \ \ Leftrightarrow AC = 12 \ left ( { cm } \ right ) \ end { array } \ )Xét \ ( \ Delta ABC \ ) có \ ( BD \ ) là đường phân giác của góc \ ( ABC \ ) .Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác ta có :

\ ( \ frac { { AB } } { { BC } } = \ frac { { AD } } { { DC } } \ ) \ ( \ Rightarrow \ frac { 9 } { { 15 } } = \ frac { { AD } } { { DC } } \ ) \ ( \ Rightarrow \ frac { { AD } } { { DC } } = \ frac { 3 } { 5 } \ ) \ ( \ Rightarrow AD = \ frac { 3 } { 5 } DC \ ) .Ta lại có :\ ( \ begin { array } { l } AD + DC = AC \ \ \ Leftrightarrow AD + DC = 12 \ \ \ Leftrightarrow \ frac { 3 } { 5 } DC + DC = 12 \ \ \ Leftrightarrow \ frac { 8 } { 5 } DC = 12 \ \ \ Leftrightarrow DC = 7,5 \ end { array } \ )\ ( \ begin { array } { l } \ Rightarrow AD = AC – DC \ \ \ Leftrightarrow AD = 12 – 7,5 = 4,5 \ end { array } \ )

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(ED\). Chứng minh: \(\angle BIH = \angle ACB\).

Vì \ ( \ Delta ABD \ ) vuông tại \ ( A \ ) nên \ ( \ angle BDA + \ angle ABD = { 90 ^ 0 } \ ) .Vì \ ( \ Delta BEH \ ) vuông tại \ ( H \ ) nên \ ( \ angle EBH + \ angle BEH = { 90 ^ 0 } \ ) .Mà \ ( \ angle ABD = \ angle EBH \ ) ( vì \ ( BD \ ) là tia phân giác của \ ( \ angle ABC \ ) ) .Suy ra, \ ( \ angle BDA = \ angle BEH \ ) .

Ta lại có : \ ( \ angle AED = \ angle BEH \ ) ( hai góc đối đỉnh ) .\ ( \ Rightarrow \ angle AED = \ angle BDA \, \, \ left ( { = \ angle BEH } \ right ) \ ) hay \ ( \ angle AED = \ angle ADE \ ) .\ ( \ Rightarrow \ Delta AED \ ) cân tại \ ( A \ ) .Mà \ ( I \ ) là trung điểm của \ ( ED \ ) nên \ ( AI \ bot BD \ ) tại \ ( I \ ) .Xét \ ( \ Delta BEH \ ) và \ ( \ Delta AEI \ ) có :\ ( \ angle BHE = \ angle EIA \, \, \ left ( { = { { 90 } ^ 0 } } \ right ) \ ) .\ ( \ angle BEH = \ angle AEI \ ) ( hai góc đối đỉnh ) .\ ( \ Rightarrow \ Delta BEH \ sim \ Delta AEI \ ) ( góc-góc ) .\ ( \ Rightarrow \ frac { { BE } } { { AE } } = \ frac { { EH } } { { EI } } \ ) \ ( \ Rightarrow \ frac { { HE } } { { BE } } = \ frac { { EI } } { { EA } } \ ) .Xét \ ( \ Delta HEI \ ) và \ ( \ Delta BEA \ ) có :\ ( \ angle HEI = \ angle BEA \ ) ( hai góc đối đỉnh ) .\ ( \ frac { { HE } } { { BE } } = \ frac { { EI } } { { EA } } \ ) ( chứng tỏ trên ) .\ ( \ Rightarrow \ Delta HEI \ sim \ Delta BEA \ ) ( cạnh-góc-cạnh ) .\ ( \ Rightarrow \ angle EIH = \ angle EAB \ ) ( hai góc tương ứng ) hay \ ( \ angle BIH = \ angle BAH \ ) \ ( \ left ( 1 \ right ) \ )

Ta lại có :\ ( \ left. \ begin { array } { l } \ angle BAH + \ angle ABH = { 90 ^ 0 } \ \ \ angle ABH + \ angle ACH = { 90 ^ 0 } \ end { array } \ right \ } \ ) \ ( \ Rightarrow \ angle BAH = \ angle ACH \ ) \ ( \ left ( 2 \ right ) \ )Từ \ ( \ left ( 1 \ right ) \ ) và \ ( \ left ( 2 \ right ) \ ) suy ra \ ( \ angle BIH = \ angle ACH \ ) ( đpcm ) .

Câu 4 (VDC)

Phương pháp:

Dùng giải pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình đã cho về dạng tích \ ( A \ left ( x \ right ). B \ left ( x \ right ) = 0 \ ) \ ( \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } A \ left ( x \ right ) = 0 \ \ B \ left ( x \ right ) = 0 \ end { array } \ right. \ )

Cách giải:

Giải phương trình: \({\left( {2017 – x} \right)^3} + {\left( {2019 – x} \right)^3} + {\left( {2x – 4036} \right)^3} = 0\)

Đặt : \ ( \ left \ { \ begin { array } { l } u = 2017 – x \ \ v = 2019 – x \ end { array } \ right. \ ) \ ( \ Rightarrow u + v = 4036 – 2 x \ )Phương trình \ ( \ left ( * \ right ) \ ) trở thành :

\ ( \ begin { array } { l } { u ^ 3 } + { v ^ 3 } – { \ left ( { u + v } \ right ) ^ 3 } = 0 \ \ \ Leftrightarrow \ left ( { { u ^ 3 } + { v ^ 3 } } \ right ) – \ left ( { { u ^ 3 } + 3 { u ^ 2 } v + 3 u { v ^ 2 } + { v ^ 3 } } \ right ) = 0 \ \ \ Leftrightarrow { u ^ 3 } + { v ^ 3 } – { u ^ 3 } – 3 { u ^ 2 } v – 3 u { v ^ 2 } – { v ^ 3 } = 0 \ \ \ Leftrightarrow – 3 { u ^ 2 } v – 3 u { v ^ 2 } = 0 \ \ \ Leftrightarrow 3 uv \ left ( { u + v } \ right ) = 0 \ \ \ Leftrightarrow uv \ left ( { u + v } \ right ) = 0 \ \ \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } u = 0 \ \ v = 0 \ \ u + v = 0 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } 2017 – x = 0 \ \ 2019 – x = 0 \ \ 2017 – x + 2019 – x = 0 \ end { array } \ right. \ \ \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } 2017 – x = 0 \ \ 2019 – x = 0 \ \ 4036 – 2 x = 0 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = 2017 \ \ x = 2019 \ \ x = 2018 \ end { array } \ right. \ end { array } \ )Vậy \ ( S = \ left \ { { 2017 ; \, \, 2018 ; \, \, 2019 } \ right \ } \ ) .Loigiaihay. com

Source: https://evbn.org
Category: Bài Tập