CHUYÊN ĐỀ VỀ ĐA THỨC – Chuyên đề toán THPT

4.4. Các bài tập có lời giải

Bài 1. Rút gọn biểu thức

$$A=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(c-b)(c-a)}$$

Lời giải. Áp dụng công thức nội suy $Lagrange$ cho hàm số $P(x) = x^2$ với các điểm $a, b, c$ và giá trị tương ứng là $a^2, b^2, c^2$, ta có:

$P(x)=\frac{a^2(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2(x-a)(x-b)}{(c-b)(c-a)}$

So sánh hệ số $x^2$ ở hai vế , ta được $A=1$

Bài 2. 

Cho đa thức $P(x)$ bậc $n$ thoả mãn điều kiện 

$P(k)=\frac{k}{k+1};\forall k=0,1, 2, …, n$

. Hãy tìm 

$P(n+1)$

Lời giải. Theo công thức nội suy $Lagrange$ thì

Cách 2. Xét đa thức $(x+1)P(x) – x$ có bậc $n$ và có $n+1$ nghiệm $x = 0, 1, 2, …, n.$

Do đó, ta có:

$$(x+1)P(x) – x = ax(x-1)(x-2)…(x-n)$$

với $a$ là $1$ hằng số.

Thay $x=-1$ , ta được $1=a(-1)(-2)…(-n-1)=a(-1)^{n+1}(n+1)!$

Suy ra $a=\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$

Từ đó $(n+2)P(n+1)-(n+1)=n!\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}$

Suy ra $P(n+1)=\frac{\left [ (n+1)^2+(-1)^{n+1} \right ]}{(n+2)}$

Bài 3. Cho tam thức bậc hai $P(x) = ax^2 + bx + c$ thoả mãn điều kiện $\left | P(x) \right |\leq 1,\forall x\leq 1$.Chứng minh rằng:

$$\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |\leq 3$$ 

Lời giải. Thực hiện phép nội suy tại $3$ điểm $-1, 0, 1$ , ta có:

$P(x)=P(-1).\frac{x(x-1)}{(-1-0)(-1-1)}+P(0).\frac{(x+1)(x-1)}{(0+1)(0-1)}+P(1).\frac{x(x+1)}{(1+0)(1+1)}$

Suy ra $P(x)=\frac{P(1)+P(-1)-2P(0)}{2}.x^2+\frac{P(1)-P(-1)}{2}x+P(0)$

Từ đó $a=\frac{P(1)+P(-1)-2P(0)}{2},b=\frac{P(1)-P(-1)}{2},c=P(0)$

Suy ra

$$\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |=\left | \frac{P(1)+P(-1)-2P(0)}{2} \right |+\left | \frac{P(1)-P(-1)}{2} \right |+\left | P(0) \right |\leq \left | \frac{P(1)+P(-1)}{2} \right |+\left | \frac{P(1)-P(-1)}{2} \right |+2\left | P(0) \right |\leq max\begin{Bmatrix} {\left | P(1) \right |,\left | P(-1) \right |} \end{Bmatrix}++2\left | P(0) \right |\leq 3$$

4.5. Bài tập tự giải

Bài 1. Rút gọn biểu thức:

$$A=\frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^4}{(c-a)(c-b)}$$

Bài 2. Cho $M(y)$ là một đa thức bậc $n$ sao cho $M(y) = 2^y$ với $y = 1, 2, …, n+1$. Hãy tìm $M(n+2).$

Bài 3. Cho đa thức $P(x)=x^{10}+a_{9}x^9+…+a_{1}x+a_{0}$. Biết rằng $P(-1)=P(1),P(2)=P(-2),…,P(-5)=P(5)$ . Chứng minh rằng $P(x)=P(-x), \forall x \in \mathbb{R}$

Bài 4. Cho $x_{0}< x_{1}< x_{2}<…< x_{n}$ là các số nguyên và $P(x)$ là đa thức bậc $n$ có hệ số cao nhất bằng $1$ . Chứng minh rằng tồn tại $i\in\begin{Bmatrix} 0,1,…,n \end{Bmatrix}$ sao cho $\left | P(x_{i}) \right |\geq \frac{n!}{2^{n}}$

Bài 5. Một chiếc tàu với vận tốc không đổi đi ngang qua một hòn đảo. Thuyền trưởng cứ mỗi giờ lại đo khoảng cách từ tàu đến đảo. Vào lúc $12, 14$ và $15$ giờ tàu cách đảo các khoảng cách tương ứng là $7, 5$ và $11$ km. Hỏi vào lúc $13$ giờ tàu cách đảo bao nhiêu $km$. Và lúc $16$ giờ, tàu sẽ cách đảo bao nhiêu $km$?

Bài 6. Trên mặt phẳng cho $100$ điểm. Biết rằng với bốn điểm bất kỳ trong chúng đều có một $parabol$ bậc $2$ đi qua. Chứng minh rằng tất cả các điểm đã cho đều nằm trên một $parabol$ bậc 2.