Giải bài tập Đại số lớp 12 Bài 1 Nguyên hàm chi tiết nhất

Giải bài tập Đại số lớp 12 Bài 1 Nguyên hàm chi tiết nhất được soạn và biên tập bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm giảng dạy môn toán. Đảm bảo chính xác dễ hiểu giúp các em nhanh chóng nắm được kiến thức trọng tâm trong bài nguyên hàm lớp 12 và ứng dụng giải bài tập nguyên hàm sgk để các em hiểu rõ hơn.

Giải bài tập Đại số lớp 12 Bài 1 Nguyên hàm chi tiết nhất thuộc: Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng

I. Tóm tắt lý thuyết nguyên hàm

1. Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Định lí:

1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C

2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1: (∫f(x)dx)’ = f(x) và ∫f'(x)dx = f(x) + C

Tính chất 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx với k là hằng số khác 0.

Tính chất 3: ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

 

5. Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Nếu ∫f(u)du = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

∫f(u(x))u'(x)dx = F(u(x)) + C

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0) thì ta có ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C

6. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Định lí 2: Nếu hai hàm số u = u(x) và y = y(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) – ∫u'(x)v(x)dx

Hay ∫udv = uv – ∫vdu

II. Hướng dẫn trả lời câu hỏi bài tập nguyên hàm toán 12 bài 1

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 93:

Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu:

a) f(x) = 3×2 với x ∈ (-∞; +∞);

b) f(x) = 1/(cos⁡x)2 với x ∈ ((-π)/2; π/2).

Lời giải:

F(x) = x3 vì (x3)’ = 3×2

F(x) = tanx vì (tanx)’ = 1/(cos⁡x)2 .

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 93:

Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong Ví dụ 1.

Lời giải:

(x) = x2 + 2 do (F(x))’=( x2 + 2)’ = 2x + 0 = 2x. Tổng quát F(x) = x2 + c với c là số thực.

F(x) = lnx + 100, do (F(x))’ = 1/x , x ∈ (0,+∞). Tổng quát F(x)= lnx + c, x ∈ (0,+∞) và với c là số thực.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 93:

Hãy chứng minh Định lý 1.

Lời giải:

Vì F(x) là nguyên hàm của f(x) trên K nên (F(x))’ = f(x). Vì C là hằng số nên (C)’ = 0.

Ta có:

(G(x))’ = (F(x) + C)’ = (F(x))’ + (C)’ = f(x) + 0 = f(x)

Vậy G(x) là một nguyên hàm của f(x).

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 95:

Hãy chứng minh Tính chất 3.

Lời giải:

Ta có [∫f(x) ± ∫g(x)]’= [∫f(x) ]’± [∫g(x) ]’ = f(x)±g(x).

Vậy ∫f(x) ± ∫g(x) = ∫[f(x)±g(x)].

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 96:

Lập bảng theo mẫu dưới đây rồi dùng bảng đạo hàm trang 77 và trong SGK Đại số và Giải tích 11 để điền vào các hàm số thích hợp vào cột bên phải.

Lời giải:

f’(x)
f(x) + C

0
C

αxα -1
xα + C

1/x (x ≠ 0)
ln⁡(x) + C nếu x > 0, ln⁡(-x) + C nếu x < 0.

ex
ex + C

axlna (a > 1, a ≠ 0)
ax + C

Cosx
sinx + C

– sinx
cosx + C

1/(cosx)2
tanx + C

(-1)/(sinx)2
cotx + C

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 98:

a) Cho ∫(x – 1)10 dx. Đặt u = x – 1, hãy viết (x – 1)10dx theo u và du.

b)∫ . Đặt x = et, hãy viết  theo t và dt.

a) Ta có (x – 1)10dx = u10 du (do du = d(x – 1) = dx.

b) Ta có dx = d(et) = et dt, do đó 

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 99:

Ta có (xcosx)’ = cosx – xsinx hay – xsinx = (xcosx)’ – cosx.

Hãy tính ∫ (xcosx)’ dx và ∫ cosxdx. Từ đó tính ∫ xsinxdx.

Lời giải:

Ta có ∫ (xcosx)’dx = (xcosx) và ∫ cosxdx = sinx. Từ đó

∫ xsinxdx = – ∫ [(xcosx)’ – cosx]dx = -∫ (xcosx)’dx + ∫ cosxdx = – xcosx + sinx + C.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 100:

Cho P(x) là đa thức của x. Từ Ví dụ 9, hãy lập bảng theo mẫu dưới đây rồi điền u và dv thích hợp vào chỗ trống theo phương pháp nguyên phân hàm từng phần.

∫ P(x)ex dx
∫ P(x)cosxdx
∫ P(x)lnxdx

P(x)

exdx

Lời giải:

∫ P(x)ex dx
∫ P(x)cosxdx
∫ P(x)lnxdx

P(x)
P(x)
P(x)lnx

exdx
cosxdx
dx

III. Hướng dẫn giải bài tập nguyên hàm toán 12 bài 1

Bài 1 trang 100 SGK Giải tích 12:

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?

Lời giải:

a) Ta có: (-e-x)’ = -e-x.(-x)’ = e-x

⇒ -e-x là một nguyên hàm của hàm số e-x

Lại có : ( e-x )’ = e-x. (-x)’ = – e-x

Suy ra, e-x là một nguyên hàm của hàm số -e-x

Vậy 

b) (sin2x)’ = 2.sinx.(sinx)’ = 2.sinx.cosx = sin2x

⇒ sin2x là một nguyên hàm của hàm số .

 là một nguyên hàm của hàm số 

Kiến thức áp dụng

+ F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu:

f’(x) = F(x)

+ Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tất cả các hàm số có dạng F(x) + C (C là một hằng số bất kì) đều là nguyên hàm của hàm số f(x).

Kí hiệu: 

Bài 2 trang 100 SGK Giải tích 12:

Tìm hiểu nguyên hàm của các hàm số sau:

Lời giải:

Kiến thức áp dụng

+ Các công thức nguyên hàm :

Bài 3 trang 101 SGK Giải tích 12:

Sử dụng phương pháp đổi biến, hãy tính:

Lời giải:

a) Đặt u = 1 – x ⇒ u’(x) = -1⇒ du = -dx hay dx = – du

Thay u = 1 – x vào kết quả ta được :

b) Đặt u = 1 + x2 ⇒ u’ = 2x ⇒ du = 2x.dx 

Thay lại u = 1+ x2 vào kết quả ta được:

c) Đặt u = cosx ⇒ u’ = -sinx ⇒ du = -sinx.dx

Thay lại u = cos x vào kết quả ta được:

d) Ta có:

Kiến thức áp dụng

+ Phương pháp đổi biến số:

Nếu hàm u = u(x) có đạo hàm liên tục

⇒ du = u'(x)dx

Khi đó ta có:

+ Một số công thức nguyên hàm:

Giải bài tập Đại số lớp 12 Bài 1 Nguyên hàm chi tiết nhất. Hướng dẫn soan Đại bài Nguyên hàm chi tiết nhất. Bài viết được biên soạn trên soanbaitap.com

Bài 4 trang 101 SGK Giải tích 12:

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

Lời giải:

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

b) Đặt

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

Kiến thức áp dụng

+ Phương pháp nguyên hàm từng phần:

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

∫u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) – ∫u'(x).v(x)dx

hay viết ngắn gọn:

∫udv = uv – ∫vdu

+ Một số công thức nguyên hàm:

Nguyên hàm toán lớp 12 bài 1 giải bài tập do đội ngũ giáo viên giỏi toán biên soạn, bám sát chương trình SGK mới toán học lớp 12. Được Soanbaitap.com biên tập và đăng trong chuyên mục giải toán 12 giúp các bạn học sinh học tốt môn toán đại 12. Nếu thấy hay hãy comment và chia sẻ để nhiều bạn khác cùng học tập.