Giải bài 9, 10, 11, 12 trang 93 SGK Hình học 12

Bài 9 trang 93 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), tìm toạ độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M( 1 ; -1 ; 2)\) trên mặt phẳng \((α): 2x – y + 2z +11 = 0\)

Giải

Điểm \(H\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mp \((α)\) chính là giao điểm của đường thẳng \(∆\) đi qua \(M\) và vuông góc với \((α)\). Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2; -1; 2)\).

Đường thẳng \(∆\) vuông góc với mp\( (α)\) nhận \(\overrightarrow n \) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của \(∆\):

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = – 1 – t \hfill \cr
z = 2 + 2t \hfill \cr} \right.\)

Thay các biểu thức này vào phương trình \(mp (α)\), ta có:

\(2(1 + 2t) – (-1 – t) + 2(2 + 2t) + 11 = 0 \)

\(\Leftrightarrow t = -2\).

Từ đây ta được \(H(-3; 1; -2)\).

Bài 10 trang 93 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho điểm \(M(2 ; 1 ; 0)\) và mặt phẳng \((α): x + 3y – z – 27 = 0\). Tìm toạ độ điểm \(M’\) đối xứng với \(M\) qua \((α)\).

Giải

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên mặt phẳng \((α)\) và \(M’\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \((α)\) thì \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MM’\). Xét đường thẳng \(∆\) qua \(M\) và \(∆\) vuông góc với \((α)\).

Phương trình \(∆\) có dạng:

\(\left\{ \matrix{
x = 2 + t \hfill \cr
y = 1 + 3t \hfill \cr
z = – t \hfill \cr} \right.\)

Từ đây ta tìm được toạ độ điểm \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \((α)\).

Thay các tọa độ \(x,y,z\) theo \(t\) từ phương trình \(\Delta\) và phương trình \((\alpha)\) ta được:

\(2+t+3(1+3t)-(-t)-27=0\Rightarrow 11t=22\)

\(\Rightarrow t=2\)

\(\Rightarrow H(4; 7; -2)\)

\(M\) và \(M’\) đối xứng nhau qua \((α)\) nên \(\overrightarrow {MM’} = 2\overrightarrow {MH} \)

Gọi \((x, y, z)\) là toạ độ của \(M’\) ta có: \(\overrightarrow {MM’} = (x – 2; y – 1; z)\); \(\overrightarrow {MH} = (2; 6; -2)\)

\(\overrightarrow {MM’} \)=\(2\overrightarrow {MH} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x – 2 = 2.2 \Rightarrow x = 6 \hfill \cr
y – 1 = 2.6 \Rightarrow y = 13 \hfill \cr
z = 2.( – 2) \Rightarrow z = – 4 \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow M’ (6; 13; -4)\)

Bài 11 trang 93 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(∆\) vuông góc với mặt phẳng toạ độ \((Oxz)\) và cắt hai đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = – 4 + t \hfill \cr
z = 3 – t \hfill \cr} \right.\)

\(d’:\left\{ \matrix{
x = 1 – 2k \hfill \cr
y = – 3 + k \hfill \cr
z = 4 – 5k. \hfill \cr} \right.\)

Giải

Gọi \(M\) là điểm thuộc đường thẳng \(d\), toạ độ của \(M\) là \(M( t; -4 + t; 3 – t)\). \(N\) là điểm thuộc đường thẳng \(d’\), toạ độ của \(N\) là \(N(1 – 2k; -3 + k; 4 – 5k)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MN}= (1 – 2k – t; 1 + k – t; 1 – 5k + 1)\)

Vì \(MN ⊥ (Oxz)\) nên \(MN ⊥ Ox\) và \(MN ⊥ Oz\)

\(Ox\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i = (1; 0; 0)\);

\(Oz\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow j = (0; 0; 1)\).

\(MN ⊥ Ox\)

\( \Leftrightarrow (1 – 2k – t).1 + (1 + k – t).0 + (1 – 5k + t).0\)

\(= 0\)

\( \Leftrightarrow 1 – 2k – t = 0\) (1)

\(MN ⊥ Oz\)

\( \Leftrightarrow (1 – 2k – t).0 + (1 + k – t).0 + (1 – 5k + t) = 0\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ

\(\left\{ \matrix{
1 – 2k – t = 0 \hfill \cr
1 – 5k + t = 0 \hfill \cr} \right.\)

Hệ này cho ta \(k = {2 \over 7}\); t =\({3 \over 7}\)

và được toạ độ của M\(\left( {{3 \over 7}; – {{25} \over 7};{{18} \over 7}} \right)\) , N\(\left( {{3 \over 7}; – {{19} \over 7};{{18} \over 7}} \right)\)

Từ đây ta có \(\overrightarrow {MN} = (0; 1; 0)\) và được phương trình đường thẳng \(MN\) là:

\(\left\{ \matrix{
x = {3 \over 7} \hfill \cr
y = – {{25} \over 7} + t \hfill \cr
z = {{18} \over 7} \hfill \cr} \right.\)

Bài 12 trang 93 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), tìm toạ độ điểm \(A’\) đối xứng với điểm \(A(1 ; -2 ; -5)\) qua đường thẳng \(∆\) có phương trình

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = – 1 – t \hfill \cr
z = 2t. \hfill \cr} \right.\)

Giải

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên đường thẳng \(△\). Khi đó \(H\) là trung điểm của \(AA’\).

Xét mặt phẳng \((P)\) qua \(A\) và \((P) ⊥ △\). Khi đó \(H = (P) ⋂ △\).

Vì \(\overrightarrow u (2; -1; 2)\) là vectơ chỉ phương của \(△\) nên \(\overrightarrow u \) là vectơ pháp tuyến của \((P)\). Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng: \(2(x – 1) – (y + 2) + 2(z + 5) = 0\)

hay \(2x – y + 2z + 6 = 0\) (1)

Để tìm giao điểm \(H = (P) ⋂ △\). Thay toạ độ \(x, y, z\) trong phương trình của \(△\) vào (1), ta có: \(2(1 + 2t) + (1 + t) + 4t + 6 = 0\)

\( \Rightarrow 9t + 9 = 0\Rightarrow t = -1\) \( \Rightarrow H(-1; 0; -2)\).

Từ đó ta tìm được \(A'(-3; 2; 1)\)

Giaibaitap.me